数学高考题总结



1,已知 a 是实数,函数 f ( x ) = 2ax + 2 x 3 a ,如果函数 y = f ( x ) 在区间 [ 1,1] 上有零点,求 a 的取
2
值范围. 2,已知集合 A = {a1 , a 2 , a3 , , a k }( k ≥
  2) 其中 a i ∈ Z (i = 1,2, , k ) ,由 A 中的元素构成两个相应的集合
S = {(a, b ) a ∈ A, b ∈ A, a + b ∈ A},T = {(a, b ) a ∈ A, b ∈ A, a b ∈ A},其中 (a, b ) 是有序实数对,集合
S和T 的元素个数分别为 m, n .
若对于任意的 a ∈ A,总有 a A ,则称集合 A 具有性质 P . 并对其中具有性质 P 的集合写出相应的集合 S和T ; (Ⅰ) 检验集合 {0,1,2,3} 与 { 1,2,3} 是否具有性质 P , (Ⅱ)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤
k (k
  1) ; 2
(Ⅲ)判断 m和n 的大小关系,并证明你的结论. 3,已知函数 f ( x ) = x +
2
a ( x ≠ 0, a ∈ R ) x
(
  1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (
  2)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围.
4 4 4,已知函数 f ( x ) = ax ln x + bx c (x>
  0)在 x = 1 处取得极值 3 c ,其中 a,b,c 为常数.
(
  1)试确定 a,b 的值; (
  2)讨论函数 f(x)的单调区间; (
  3)若对任意 x>0,不等式 f ( x ) ≥ 2c 2 恒成立,求 c 的取值范围.
5,设 f ( x ) =
2 x3 2 ,对任意实数 t ,记 gt ( x ) = t 3 x t . 3 3
(I)求函数 y = f ( x ) g t ( x) 的单调区间; (II)求证: (?)当 x > 0 时, f ( x ) g f ( x ) ≥ gt ( x ) 对任意正实数 t 成立; (?)有且仅有一个正实数 x0 ,使得 g x ( x0 ) ≥ g t ( x0 ) 对任意正实数 t 成立.
6,已知函数 f ( x ) =
2ax a 2 + 1 ( x ∈ R ) ,其中 a ∈ R . x2 + 1
(Ⅰ)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (
  2)) 处的切线方程;
(Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.
7,设函数 f ( x ) = 1 +

1 (n ∈ N , 且n > 1, x ∈ N ) . n
n
n
1 (Ⅰ)当 x=6 时,求 1 + 的展开式中二项式系数最大的项; n
(Ⅱ)对任意的实数 x,证明
f ( 2 x ) + f (
  2) > f ′( x)( f ′( x)是f ( x)的导函数); 2
(Ⅲ)是否存在 a ∈ N ,使得 an< 存在,请说明理由.
∑ 1 + k < (a +
  1)n 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值;若不
k 1
n

1
8,设函数 f(x)=
c2 , 其中 a 为实数. x 2 + ax + a
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 9,设函数 f ( x) = x 2 + b ln( x +
  1) ,其中 b ≠ 0 . (Ⅰ)当 b >
1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln
1 1 1 + 1 > 2 3 都成立. n n n
10,已知函数 f ( x) = x3 x . (
  1)求曲线 y = f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (
  2)设 a > 0 ,如果过点 ( a,b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,证明: a < b < f ( a )
0 11,如图,函数 y = 2 cos(ω x + θ )( x ∈ R,≤ θ ≤ ) 的图象与 y 轴交
于点 (0,
  3) ,且在该点处切线的斜率为 2 . (
  1)求 θ 和 ω 的值;
π 2
y 3 O A P
x
(
  2) 已知点 A , , P 是该函数图象上一点, Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 = 点 当 0 点 时,求 x0 的值.
π 2

3 π ,x0 ∈ ,π 2 2
12,如图 6 所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B,D 的动点,点 F 在 BC 边上, EF⊥AB, 且 现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF P 的位置, PE⊥AE, BE=x, x) 使 记 V ( 表示四棱锥 P-ACEF 的体积. (
  1)求 V(x)的表达式; (
  2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? D E A (
  3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 B PF 所成角的余弦值. 13,已知函数 f ( x) = e x kx,x ∈ R (Ⅰ)若 k = e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k > 0 ,且对于任意 x ∈ R , f ( x ) > 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( x ) ,求证: F (
  1) F (
  2) F ( n) > (e
n +1
C
F 图6
+
  2) 2 (n ∈ N ) .
n
14,如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将此 钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭 圆上,记 CD = 2 x ,梯形面积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.
2
D
C 4r
15,设 a≥0,f (x)=x-1-ln x+2a ln x(x>
  0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' x) ( ,讨论 F(x)在(
  0.+∞)内的单调性并求极值; 2 (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln x-2a ln x+
  1.
A
2r
B
16,已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和满足 S n > 1 ,且 6 S n = ( a n +
  1)( a n +
  2), n ∈ N (
  1)求{ a n }的通项公式; (
  2)设数列{ bn }满足 a n ( 2
bn
*

  1) = 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:
3Tn + 1 > log 2 (a n +
  3), n ∈ N *
17,已知数列 {an } 中的相邻两项 a2 k 1,a2 k 是关于 x 的方程 x 2 (3k + 2 k ) x + 3k i2 k = 0 的两个根,且
a2 k 1 ≤ a2 k (k = 1, 3, ) . 2,
(I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ; (II)求数列 {an } 的前 2n 项和 S 2n ; ( Ⅲ ) 记 f ( n) =
1 sin n (
  1) f (
  2) (
  1) f (
  3) (
  1) f (
  4) (
  1) f ( n +
  1) + + +…+ + 3 , Tn = , 求 证 : 2 sin n a1a2 a3 a4 a5 a6 a2 n 1a2 n
1 5 ≤ Tn ≤ (n ∈ N* ) . 6 24
18, 已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k 1 , 2 k 是关于 x 的方程 x 2 (3k + 2k ) x + 3k 2 k = 0 的两个根, a2 k 1 a 且 ≤ a2 k (k =1,2,3,…).
(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n≥
  4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.
19,在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明存在 k ∈ N ,使得
n +1
+ (2 λ )2 n (n ∈ N ) ,其中 λ > 0 .
an +1 a ≤ k +1 对任意 n ∈ N 均成立. an ak
20,在数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = 4an 3n + 1 , n ∈ N .
*
(Ⅰ)证明数列 {an n} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 S n +1 ≤ 4 S n ,对任意 n ∈ N 皆成立.
*
21,已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,u) u,N ( + ) ,其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; x +2 (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg n ,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn 2 (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<
  3. ,满足 a1 = an , a2 = an 1 ....an = a1 即 ai = an i +1 ( i 是正整数,且 22,若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数)
2
1≤ i ≤ n) ,就称该数列为"对称数列" .
(
  1)已知数列 {bn } 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列, b1 = 2, b4 = 11 ,试写出 {bn } 的 每一项 (
  2)已知 {cn } 是项数为 2k 1( k ≥
  1) 的对称数列,且 ck , ck +1 ...c2 k 1 构成首项为 50,公差为 4 的等差数 列,数列 {cn } 的前 2k 1 项和为 S 2 k 1 ,则当 k 为何值时, S 2 k 1 取到最大值?最大值为多少? (
  3)对于给定的正整数 m > 1 ,试写出所有项数不超过 2m 的对称数列,使得 1, 2, 2 ...2
2 m1
成为数列中的
连续项;当 m > 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 S 2008
23, 如果有穷数列 a1, 2, 3, , m( m 为正整数) a a a 满足条件 a1 = am ,a2 = am 1 , …,a m = a1 , ai = am i +1 即
( i = 1,, , ) 2 m ,我们称其为"对称数列" . 2 5 2 1 4 2 2 4 8 . 例如,数列1,,,, 与数列 8, , , , , 都是"对称数列" (
  1)设 { bn }是 7 项的"对称数列" ,其中 b1,2,3,4 是等差数列,且 b1 = 2 , b4 = 11 .依次写出 { bn }的 b b b 每一项; (
  2)设 { c n }是 49 项的"对称数列" ,其中 c25,26, ,49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,求 { c n }各 c c 项的和 S ; (
  3)设 { d n } 是 100 项的"对称数列" ,其中 d51, 52, ,100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列.求 { d n } d d 前 n 项的和 S n ( n = 1,, , ) . 2 100
24,已知各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk= (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数 n(n≥
  2),数列{bk}满足 求 b1+b2+…+bn
.
1 ak ak +1 (k ∈ N*),其中 a1=
  1. 2
bk +1 k n = (k=1,2,…,n-
  1),b1=
  1. bk ab +1
25,已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a 7 = 1, 且a 4 ,4 5 + 1, a 5 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , 证明: S n , <128 ( n = 1,2,3, …).
26,设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 3 a3 + … + 3
2
n 1
an =
n * ,a∈N . 3
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项;
(Ⅱ)设 bn =
n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an
27,设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 = 7 ,且 a1 + 3, 2,a3 + 4 构 3a 成等差数列. (
  1)求数列 {an } 的等差数列. (
  2)令 bn = ln a3 n +1,n = 1, , 2, 求数列 {bn } 的前 n 项和 T .

  1) 28,设数列 {an } 的首项 a1 ∈ (0,,an =
(
  1)求 {an } 的通项公式;
3 an 1 ,n = 2, 4,… . 3, 2
(
  2)设 bn = an 3 2an ,证明 bn < bn +1 ,其中 n 为正整数.
29,设等比数列 {an } 的公比 q < 1 ,前 n 项和为 Sn .已知 a3 = 2,S 4 = 5S 2 ,求 {an } 的通项公式.
30,已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2
  1)( an +
  2) , n = 1, 3, . 2, … (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中 b1 = 2 , bn +1 =
3bn + 4 , n = 1, 3, , 2, … 2bn + 3
31,设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21 , a5 + b3 = 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列
an 的前 n 项和 Sn . bn
32,已知数列 {an } , {bn } 与函数 f ( x ) , g ( x ) , x ∈ R 满足条件:
an = bn , f (bn ) = g (bn +1 )(n ∈ N*) .
(I)若 f ( x ) ≥ tx + 1,t ≠ 0,t ≠ 2 , g ( x ) = 2 x , f (b) ≠ g (b) , lim an 存在,求 x 的取值范围;
n →∞ 1 (II)若函数 y = f ( x) 为 R 上的增函数, g ( x ) = f ( x ) ,b = 1 , f (
  1) < 1 ,证明对任意 n ∈ N * ,lim an n →∞
(用 t 表示) .
1 1 + a an +1 1 1 * 33,设正整数数列 {an } 满足: a2 = 4 ,且对于任何 n ∈ N ,有 2 + < n < 2+ . an +1 1 1 an n n +1
(
  1)求 a1 , a3 ; (
  3)求数列 {an } 的通项 an . 34,设 {an } 为等比数列, a1 = 1 , a2 = 3 . (
  1)求最小的自然数 n ,使 an ≥ 2007 ; (
  2)求和: T2 n =
1 2 3 2n + . a1 a2 a3 a2 n
35, 已知 {an } 是等差数列,{bn } 是公比为 q 的等比数列,a1 = b1 , a2 = b2 ≠ a1 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项 记 和, (
  1)若 bk = am ( m, k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: S k 1 = ( m
  1) a1 ; 分) (4 (
  2)若 b3 = ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项; 分) (8 (
  3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以 说明;若不存在,请说明理由; 分) (4 36,已知 An ( an,bn ) ( n ∈ N * )是曲线 y = e x 上的点, a1 = a , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足
2 S n = 3n 2 an + S n21 , an ≠ 0 , n = 2, 4, 3, ….
(I)证明:数列
bn + 2 ( n ≤ 2 )是常数数列; bn
(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ∈ M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ∈ M 时,弦 An An +1 ( n ∈ N * )的斜率随 n 单调递增
3, 37,设 Sn 是数列 {an } ( n ∈ N * )的前 n 项和, a1 = a ,且 S n = 3n an + S n 1 , an ≠ 0 , n = 2, 4, .
2 2 2
(I)证明:数列 {an + 2 an } ( n ≥ 2 )是常数数列;
(II) 试找出一个奇数 a , 使以 18 为首项, 为公比的等比数列 {bn }( n ∈ N * ) 7 中的所有项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项. 38,已知 m,n 为正整数, (I)用数学归纳法证明:当 x > 1 时, (1 + x ) m ≥ 1 + mx ;
1 1 m 1 (II)对于 n ≥ 6 ,已知 1 < ,求证 1 < , 2 2 n+3 m+3 m 1 求证 1 2, < , m = 1, ,n ; n+3 2
(III)求出满足等式 3 + 4 + + ( n +
  2) = ( n +
  3) 的所有正整数 n .
n n n m m m
m
m
39,已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 = 1 , a2 = 2 , an > 0 , bn = 比的等比数列. (I)证明: an + 2 = an q ;
2
an an +1 ( n ∈ N * ) {bn } 是以 q 为公 ,且
(II)若 cn = a2 n 1 + 2a2 n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (III)求和:
1 1 1 1 1 1 + + + + + + . a1 a2 a3 a4 a2 n 1 a2 n
40,已知函数 f ( x) = x 2 + x 1 , α , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) , f '( x) 是 f(x)的导数;设 a1 = 1 ,
an +1 = an f ( an ) (n=1,2,……) f '(an )
(
  1)求 α , β 的值; (
  2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; (
  3)记 bn = ln
an β (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an a
41,已知函数 f ( x ) = x 2 + x 1 , α , β 是方程 f ( x ) = 0 的两个根( α > β ), f ′ ( x ) 是的导数 设 a1 = 1 , an +1 = an (
  1)求 α , β 的值; (
  2)已知对任意的正整数 n 有 an > α ,记 bn = ln
f ( an ) , ( n = 1, 2,) . f ′(an )
an β , ( n = 1, 2,) .求数列{ bn }的 an α
前 n 项和 Sn .
42,等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n,a1 = 1 + 2,S3 = 9 + 3 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn =
Sn (n ∈ N ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n
*
43,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , an +1 = 2 S n ( n ∈ N ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn .
2, ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比 44,数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是常数, n = 1, 3, )
数列. (I)求 c 的值; (II)求 {an } 的通项公式. 45,某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后每年交纳的数目 均比上一年增加 d(d>
  0) ,因此,历年所交纳的储务金数目 a1,a2,…是一个公差为 d 的等差数列,与此 ( , 同时, 国家给予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利.这就是说, 如果固定年利率为 r r>
  0) n-1

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