上海市普通高等学校2011年高三春季招生考试试题(数学)



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上海市普通高等学校 2011 年高三春季招生考试 数 学 试 题
考生注意:
  1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 高考准考证号填写清楚, 并在规定区域内贴上条形码.
  2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.
  1.函数 y = lg( x ?
  2) 的定义域为。
  2.若集合 A = {x | x ≥ 1}, B{x | x 2 ≤ 4} ,则 A ∩ B =。
  3.在△ABC 中, tan A =
2 ,则 sin A =。 3
2x
  4.若行列式 1

  5.若 sin x =
  6. ( x +
4 = 0 ,则 x =。 2
1 π π , x ∈ [? , ] ,则 x =。 (结果用反三角函数表示) 3 2 2
1 6 ) 的二项展开式的常数项为。 x

  7.两条直线 l1 : x ? 3 y + 2 = 0 与 l2 : x ? y + 2 = 0 的夹角的大小是。
  8.若 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项的和, 8a 2 + a5 = 0 ,则
S6 =。 S3
开始
x2 y2
  9.若椭圆 C 的焦点和顶点分别是双曲线 ? = 1 的顶点 5 4
和焦点,则椭圆 C 的方程是。
  10.若点 O 和点 F 分别为椭圆
i=
  0,S=66
x2 + y 2 = 1 的中心和左焦点, 2
2 2
i←i+1 否 S←S-10
点 P 为椭圆上的任意一点,则 | OP | + | PF | 的最小值 为。
  11.根据如图所示的程序框图,输出结果 i=。
S≤0 是 输出 i y 结束

  12.2011 年上海春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学 恰好被其中 2 所高校录取,那么录取方法的种数为 。
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  13.有一中多面体的饰品,其表面右 6 个正方形 和 8 各正三角形组成(如图) ,AB 与 CD 所成的 角的大小是。
B A C
D

  14.为求方程 x ? 1 = 0 的虚根,可以把原方程变形为 ( x ?
  1)( x + ax +
  1)( x + bx +
  1) = 0 ,
5
2
2
由此可得原方程的一个虚根为。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
  15.若向量 a = ( 2,
  0), b = (1,
  1) ,则谢列结论正确的是( A. a ? b = 1 . C. (a ? b) ⊥ b . B. a = b . D. a // b . )
4x ?1
  16. f ( x) = 的图像关于 22
A.原点对称. C.直线 y = ? x 对称.
  17.直线 l : y = k ( x + A.相交或相切. C.相切.
  18.若 a1 , a 2 , a3 均为单位向量,则 a1 = ( B.直线 y = x 对称. D.y 轴对称. 的位置关系是 B.相交或相离. D.相交.


1 ) 与圆 C : x 2 + y 2 = 1 2


3 6 , ) 是 a1 + a 2 + a3 = ( 3 , 6 ) 的[答] ( 3 3

A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内 写出必要的步骤.
  19. (本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin 2 x ? 1, cos x), b = (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) = a ? b ,求函数 f (x ) 的最小 正周期及 x ∈ [0,
π
2
] 时的最大值.
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  20. (本题满分 14 分) 某甜品店制作蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形,下半部分呈圆锥形(如图) 。现把半径为 10cm 的圆形蛋皮分成 5 个扇形,用一个扇形蛋皮围成锥形侧面(蛋皮厚度忽略不计) ,求该蛋 筒冰淇淋的表面积和体积(精确到
  0.
  01) .

  21. (本题满分 14 分)本题公园小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分。 已知抛物线 F : y = 4 x
2

  1)△ABC 的三个顶点在抛物线 F 上,记△ABC 的三边 AB、BC、CA 所在的直线的斜率分别 为 k AB , k BC , k CA ,若 A 的坐标在原点,求 k AB ? k BC + k CA 的值; (
  2)请你给出一个以 P ( 2,
  1) 为顶点、其余各顶点均为抛物线 F 上的动点的多边形,写出各多边 形各边所在的直线斜率之间的关系式,并说明理由。 说明:第(
  2)小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。

  22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 4 分. 定义域为 R,且对任意实数 x1 , x 2 都满足不等式 f (
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )≤ 的所有函数 2 2
f (x) 组成的集合记为 M,例如,函数 f ( x) = kx + b ∈ M 。
? x, x ≥ 0 ? (
  1)已知函数 f ( x ) = ? 1 ,证明: f (x ) ∈ M ; ? 2 x, x < 0 ?

  2)写出一个函数 f ( x ) ,使得 f ( x ) ? M ,并说明理由; (
  3)写出一个函数 f ( x ) ∈ M ,使得数列极限 lim
n →∞
f ( n) f ( ? n) = 1, lim =
  1. 2 n →∞ ? n n
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  23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 对于给定首项 x0 > 3 a ( a >
  0) ,由递推公式 x n +1 =
1? ? xn + 2? ?
a xn
? ?(n ∈ N ) 得到数列 {x n } , ? ?
对于任意的 n ∈ N ,都有 x n > 3 a ,用数列 {x n } 可以计算 3 a 的近似值。 (
  1)取 x 0 = 5, a = 100 ,计算 x1 , x 2 , x3 的值(精确到
  0.
  01) ;归纳出 x n , x n +1 的大小关系; (
  2)当 n ≥ 1 时,证明: x n ? x n +1 <
1 ( x n ?1 ? x n ) ; 2
?4

  3)当 x 0 ∈ [5,10] 时,用数列 {x n } 计算 3 100 的近似值,要求 x n ? x n +1 < 10 ,请你估计 n, 并说明理由。
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