山西省汾阳中学2010年高二数学第一学年第一次月考题



山西省汾阳中学 2010 年高二数学第一学年第一次月考题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题: 本大题共 小题,
  1.数列
  1,-
  3,
  5,-
  7,
  9,…的一个通项公式为( 的一个通项公式为( 数列 ) A. a n = 2 n ? 1 B. an = ( ?
  1) (1 ? 2n)
n
C. a n = ( ?
  1) (2n ?
  1)
n
D. a n = ( ?
  1) (2n +
  1)
n

  2.等差数列 n}中,若 a2+a4+a9+a11=
  32,则 a6+a7= ( 等差数列{a 中 , 等差数列 A.9 B.12 C.15
) D.16
sinA:sinB:sinC=2:3:4 A:sinB:sinC=2:3:
  4, cosC
  3.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:
  4,那么 cosC =( )
1 1 2 2 B. C. ? D. 4 4 3 3 是单调递增的等差数列,
  12,
  48, 它的首项是(
  4.设 {a n } 是单调递增的等差数列,前三项的和为
  12,前三项的积为
  48,则它的首项是( )
A. ? A.1 B.2
  5.在各项均为正数的等比数列 , {bn } 中,若b b =
  3,则 log
7 8
C. ± 2
D.4
3 1
b + log 3 b2 + L + log 3 b14 =(
D. 8 )
)
A. 5 B. 6 C.7 根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(
  6.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( 0 0 0 A.b=10, A=45 , C=60 B.a=6, c=5, B=60 0 0 C.a=7, b=5, A=60 D.a=14, b=16, A=45
的形状一定是(
  7.在 ?ABC 中,若 a cos B = b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形

  8.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次 一个分裂为两个 ,经过 3 小时,这种细菌由 某种细菌在培养过程中, 分钟分裂一次(一个分裂为两个 一个分裂为两个), 小时, 某种细菌在培养过程中 1 个可繁殖成( ) 个可繁殖成( A.511 个 . B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 . . .
  9.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰 , , 的值为( 好 3 km,那么 x 的值为( , A. 3 B.2 3 ) C.2 3 或 3 D.3

  10.
  10.两个等差数列 {a n } 和 {bn } 前 n 项和分别为 S n , Tn ,且 A.
S n 7n + 2 a + a 20 = ,则 2 =( ) Tn n+3 b7 + b15
D.
9 4
B.
37 8
C.
79 14
149 24
2

  11. a 的等比数列, 的两根,
  11.已知 { n }为公比 q>1 的等比数列,若 a2005和a2006 是方程 4 x ? 8 x + 3 = 0 的两根,则
a2007 + a2008 的值是( 的值是(

1
A .18
B. 19
C. 20
D . 21 ). ④
则下列叙述正确的是(
  12.锐角三角形 ?ABC 中,若 A = 2 B ,则下列叙述正确的是( ① sin 3B = sin C A.①② A.①② ② tan
3B C tan = 1 2 2
C.③④ C.③④

π
6
<B<
π
4
a ∈ [ 2, 3] b
B.①②③ B.①②③
D.①④ D.①④
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题:(本大题共 小题, :(
  13.数列 {a n } 的前 n 项的和 Sn=2n2-n+
  1,则数列的通项 an= 数列 +
  1,
2
.

  14.在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB ? AC |= 在 = = °则 =
  15.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列 且 c=2a,则 △ 、 、 的对边分别是 、 、 若 、 、 成等比数列,且 则 cosB= .
.

  16.如图 ,将全体正整数排成一个三角形数阵,根据 如图 将全体正整数排成一个三角形数阵, 其规律, 其规律,数阵中第 n 行的从左至右的第 3 个数 是 .
三、解答题:(本大题分 6 小题共 74 分) 解答题:(本大题分 :(
  17.(12 分)在△ABC 中,已知 a = (
3 , b = 2 ,B=45° 求 A、C 及 c (结论保留最简根式形式 B=45° 结论保留最简根式形式) 结论保留最简根式形式

  18.(12 分)等比数列 {a n } 中, S 2 = 7 , S 6 = 91 ,求 S 4 . (
2

  19.(12 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边; ( 所对的边; (
  1)若 ?ABC 面积 S ?ABC =
3 , c = 2, A = 60°, 求 a 、 b 的值; 的值; 2
的形状. (
  2)若 a = c cos B ,且 b = c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

  20.
  20.(12 分)已知等差数列 {an } 满足 a 3 ? a 7 = ?12 , a4 + a6 = ?4 , (
  1)求数列 {an } 的通项公式. 求数列 的通项公式. (
  2) 当公差 d<0 时,求 n 取何值时 前 n 项和 S n 有最大值 并求出其最大值. 取何值时,前 有最大值,并求出其最大值 并求出其最大值. <

  21. 12 分)某市现有住房 a m ,预计以后的 10 年中 人口的年增长率为 r \% ,要想 10 年后 . ( 预计以后的 年中,人口的年增长率为 人均住房面积达到现有的
  1.5 倍,试问这 10 年中 平均每年新建住房多少 m ? 试问这 年中,平均每年新建住房多少
2
2
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 如图,甲船以每小时
  22.(14 分)如图 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线 航行, 处时,乙船位于甲船的北偏西 海里, 航行,当甲船位于 A1 处时 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 此时两船相距 处时,乙船航行到甲船的北偏西 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 此时两船相距
o o
10 2 海里 问乙船每小时航行多少海里?(结论保留最简根式形式 海里,问乙船每小时航行多少海里 结论保留最简根 形式) 问乙船每小时航行多少海里? 结论保留最简
3

120o
A2
B2 B1

105o A 1

附加题:(本小题满分 20 分) 在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (I)设 bn =
1 n
n +1 2n
an ,求数列 {bn } 的通项公式 n
(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn
2010 月月考参考答案 2010 年 10 月月考参考答案
一、选择题:B D A B C D, D B C D A B
?2 二、填空题:
  13. an = ? ? ?4 n ? 3 ?
三、解答题:
n =1 n≥2

  14.
7

  15.
3 4

  16.
n2 ? n + 6 2

  17.(12 分)在△ABC 中,已知 a = ( A=60° 120° A=60°或 120° A=60° C=75° 当 A=60°时 C=75° c=
3 , b = 2 ,B=45° 求 A、C 及 c ,B=45°
2+ 6 2 6? 2 2
A=120° C=15° 当 A=120°时 C=15° c=

  18.(12 分)等比数列 {a n } 中, S 2 = 7 , S 6 = 91 ,求 S 4 . (
4
解法一:∵ S 2 = 7 , S 6 = 91 ,易知 q ≠ 1
?a1 (1 + q) = 7 ? ? a1 (1 ? q 6 ) ? 1 ? q = 91 ?
a1 (1 + q)(1 ? q)(1 + q 2 + q 4 ) ∴ = 91 1? q
∴ q 4 + q 2 ? 12 = 0 ,∴ q 2 = 3 , ∴ S4 =
a1 (1 ? q 4 ) = a1 (1 + q)(1 + q 2 ) = 7 × (1 +
  3) = 28 1? q
解法二:设数列 {a n } 的公比为 q, ∵ S 2 = 7 , S 6 = 91 , ∴?
?a1 + a 2 = 7 ?a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = 91
∴ q2 =
  3,
∴?
?a1 + a 2 = 7
2 4 ?7 + 7q + 7 q = 91
∴ q 4 + q 2 ? 12 = 0 ∴ S4 =
a1 (1 ? q 4 ) = a1 (1 + q)(1 + q 2 ) = 7 × (1 +
  3) = 28 . 1? q
解法三:∵数列 {a n } 为等比数列, ∴ S 2 , S 4 ? S 2 , S 6 ? S 4 也为等比数列,即
  7, S 4 ? 7 , 91 ? S 4 成等比数列, ∴ ( S 4 ?
  7) = 7(91 ? S 4 ) ,
2
解得 S 4 = 28 或 S 4 = ?21
2 2
∵ S 4 = a1 + a 2 + a3 + a 4 = a1 + a 2 + a1 q + a 2 q > 0 ∴ S 4 = 28 .
  19. (12 分) 已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边; 所对的边; (
  1)若 ?ABC 面积 S ?ABC =
3 , c = 2, A = 60°, 求 a 、 b 的值; 的值; 2
的形状. (
  2)若 a = c cos B ,且 b = c sin A ,试判断 ?ABC 的形状. 解:(
  1)Q S ?ABC = 1 bc sin A = 3 ,∴ 1 b ? 2 sin 60° = 3 ,得 b = 1 2 2 2 2
5
由 a = b + c ? 2bc cos A = 1 + 2 ? 2 × 1× 2 ? cos 60° = 3 ,∴ a =
2 2 2 2 2
3

  2)由 a = c ?
a2 + c2 ? b2 ? a 2 + b 2 = c 2 ,所以 ∠C = 90° 在 Rt?ABC 中, 2ac a a sin A = ,所以 b = c ? = a 所以 ?ABC 是等腰直角三角形 c c
  20.(12 分)已知等差数列 {an } 满足 a 3 ? a 7 = ?12 , a4 + a6 = ?4 , (
(
  1)求数列 {an } 的通项公式. 求数列 的通项公式. 有最大值,并求出其最大值 并求出其最大值. (
  2) 当公差 d<0 时,求 n 取何值时 前 n 项和 S n 有最大值 并求出其最大值. 取何值时,前 < 解:(
  1)
a n = -2n+8 或 a n = 2n-12
(
  2) n=3 或 4 时, s n 取得最大值 12

  21.(12 分)某市现有住房 a m ,预计以后的 10 年中 人口的年增长率为 r \% ,要想 10 年后 ( 预计以后的 年中,人口的年增长率为 人均住房面积达到现有的
  1.5 倍,试问这 10 年中 平均每年新建住房多少 m ? 试问这 年中,平均每年新建住房多少 略解:设平均每年新建住房 xm 2 , 现有人口数为 b ,由题意得
2
2
a + 10 x a = × 1 .5 10 b b(1 + r \%)
解得: x =
  0.15a (1 + r \%)10 ?
  0.1a

  22.某市现有住房 a m ,预计以后的 10 年中 人口的年增长率为 r \% ,要想 10 年后人均住房 某市现有住房 预计以后的 年中,人口的年增长率为 年中,平均每年新建住房多少 面积达到现有的
  1.5 倍 ,试问这 10 年中 平均每年新建住房多少 m ? 解法一:如图,连结 试问这
2
2
A1 B1 ,由已知 A2 B2 = 10 2 , A1 A2 = 30 2 ×
20 = 10 2 , 60

∴ A1 A2 = A2 B1 , 又∠A1 A2 B2 = 180o ? 120o = 60o ,
∴△ A1 A2 B2 是等边三角形,
…………4 分
120o A 2 B2 105o A1
∴ A1 B2 = A1 A2 = 10 2 ,
由已知, A1 B1 = 20 , ∠B1 A1 B2 = 105 ? 60 = 45 , …………6 分
o o o
B1
乙 甲
6
在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
B1 B22 = A1 B12 + A1 B22 ? 2 A1 B2 A1 B2 cos 45o = 20 2 + (10
  2) 2 ? 2 × 20 × 10 2 ×
2 = 200 2
∴ B1 B2 = 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为
10 2 × 60 = 30 2 (海里/小时) 20
答:乙船每小时航行 30 2 海里. 附加题(本小题满分 20 分) 在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (I)设 bn =
1 n
n +1 2n
an ,求数列 {bn } 的通项公式 n
(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 分析:(I)由已知有 分析
an +1 an 1 1 = + n ∴ bn +1 ? bn = n n +1 n 2 2 1 * (n∈ N ) n ?1 2
利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn = 2 ? (II)由(I)知 an = 2n ?
n , 2 n ?1
∴ Sn = ∑ (2k ?
k =1 n
n
n n k k ) = ∑ (2k ) ? ∑ k ?1 k ?1 2 k =1 k =1 2 n

∑ (2k ) = n(n +
  1) ,又 ∑
k =1
k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k =1 2
易得
∑2
k =1
n
k
k ?1
= 4?
n+2 n+2 ∴ Sn = n(n +
  1) + n ?1 ? 4 n ?1 2 2
7

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