全国高中数学联赛模拟试题(五)



全国高中数学联赛模拟试题(五)
第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)

  1、a、b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的 直线 c 有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条
  2、已知 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f(x)?g(x)=x2+2x+
  3, 则 f(x)+g(x)= (A)?x2+2x?3 (B)x2+2x?3 (C)?x2?2x+3 (D)x2?2x+3 2π
  3、已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA= 3 ,则使 AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的 m 的最大值是 (A )2
5 (B) 3
(C ) 3
3 (D ) 2

  4、设 x=
  0.8
  20.
  5,y=sin
  1,z=log3 7 则 x、y、z 的大小关系是 (A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x
? 101995 ? ? 95 ?
  5、整数 ?10 + 3 ? 的末尾两位数字是
(A)10 (B)01 (C)00 (D)20
  6、设(a,b)表示两自然数 a、b 的最大公约数.设(a,b)=
  1,则(a2+b2,a3+b
  3)为 (A )1 (B)2 (C )1 或 2 (D)可能大于 2
二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)

  1、若 f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+
  1,则 f( 2 ?
  1)= . 2 2
  2、设 F
  1、F2 是双曲线 x ?y =4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 .
3 ? x n ,则 x1999?x601=
  3、给定数列{xn},x1=
  1,且 .
  4、正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为
  1,E 是 CD 中点,F 是 BB1 中点,则四 面体 AD1EF 的体积是 .
? ?y ≥ ? x ?1 ? ? y ≤ ?2 x + 3 所限定的平面区域的面积是
  5、在坐标平面上, 由条件 ? .
  6、12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同 的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至 周. 少需要
x n +1 =
3xn + 1
三、 (20 分)
x2 y 2 + 2 =1 2 b 已知椭圆 a 过定点 A(1,
  0), 且焦点在 x 轴上, 椭圆与曲线|y|=x 的交点为 B、C.现有以 A 为焦点,过 B、C 且开口向左的抛物线,抛物 2 < e2 < 1 3 ,求实数 m 的 线的顶点坐标 M(m,
  0).当椭圆的离心率 e 满足 取值范围.
四、 (20 分)
a、b、c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.
a + b ? 2c + b + c ? 2a + c + a ? 2b 3 a?b + b?c + c?a 证明: 2 ≤ <2 .
五、 (20 分)
已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d 均大于
  0; (ii)对于任一个 x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(
  1)=1,f(
  5)=
  70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数.
第二试
一、 (50 分)
设 K 为△ABC 的内心,点 C
  1、B1 分别为边 AB、AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于点 B
  2,直线 AB 于 B1K 交于点 C
  2.若△AB2C2 于△ABC 的面积相等,试求∠CAB.
二、 (50 分)

w = cos
π
5
+ i sin
π
5 ,f(x)=(x?w)(x?w
  3)(x?w
  7)(x?w
  9).
求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的 整系数多项式之积.
三、 (50 分)
在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120°的弧的条数的最小值.
参考答案
第一试
一、选择题: 题号 1 答案 D 二、填空题:
  1、
  4;
  3、
  0;
  5、
  16;
? 3+ 2 ? ?1, ? ? 4 ? ?. 三、 ?
2 A
3 C
4 B
5 C
6 C

  2、x2+y2=
  4; 5
  4、 24 ; 6 、5 .
四、证略. 五、是.
第二试
一、60°; 二、证略. 三、1
  00.

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