江苏省东海高级中学2010??2011学年高三数学期中考试数学试题



届高三数学期中考试 期中考试( 东海高级中学 2011 届高三数学期中考试(理)数学试题
? a + bi = 3 + i (a, b ∈ R, i 为虚数单位) a + b =
  2.已知 ,则 2?i
  3.函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω >
  0) 的一段图
象如图所示,则 ω =.
  4.已知 a =
  1.设集合 A= ? x ?
?
1 ? < x < 2 ? ,B= x x 2 ≤ 1 ,则 A ∪ B = . 2 ?
y
{
}

.
1
O
?1
1
2
x
2 , b = log 2 3, c = sin 160 ,则 a, b, c 的大小关系为. 2 1 x
  5.若存在负实数使得方程 2 ? a = 成立,则实数 a 的取值范围是. x ?1
  6.m, n 表示直线,α , β , γ 表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为. α ∩ β = m, n ? α , n ⊥ m, 则α ⊥ β (2 ) ( 1 ) α ⊥ β ,α ∩ γ = m, β ∩ γ = n, 则n ⊥ m (
  3) α ⊥ β , α ⊥ γ , β ∩ γ = m, 则m ⊥ α (
  4) m ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ n, 则α ⊥ β
x
  7.已知直线 y = ex 与函数 f ( x) = e 的图象相切,则切点坐标为

  8. 已 知 S n 为 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 的 和 , a2 + a5 = 4 , S7 = 21 , 则 a7 的 值 为 .
  9.函数 f ( x ) = ln x ? 2 x 的极值点为.

.

  10.已知 sin α =
3 ?π ? ?π ? ?π ? , α ∈ ? , π ? ,则 cos ? + α ? sin ? ? α ? 的值为. 5 ?4 ? ?4 ? ?2 ? f (
  2) f (
  4) f (
  6) + + + … +
  11. 若 f ( a + b) = f ( a ) ? f (b) 且 f (
  1) = 2 , 则 f (
  1) f (
  3) f (
  5) f (20
  10) =. f (20
  09)


  12.在 ?ABC 中, ∠A = 90 ,且 AB ? BC = ?1 ,则边 AB 的长为

  13. 已 知 平 面 向 量 a = (2m + 1,
  3), b = (2, m), 且a与b 夹 角 为 锐 角 , 则 实 数 m 的 范 围 .
  14.已知 x, y ∈ R + , 且(1 + x )(1 + 2 y ) = 2, 则4 xy +
1 的最小值是. xy

  15.已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP = λ AB ( 0 ≤ λ ≤
  1) . (
  1)若等边三角形边长为
  6,且 λ =
1 ,求 CP ; (
  2)若 CP ? AB ≥ PA ? PB ,求实数 λ 的 3
取值范围.
  16.设 f ( x ) = sin x + cos x (0 ≤ x ≤ π ) . (
  1)求 f ( x ) 的最大值及 x 的值; (
  2)求 f ( x ) 的单调区间; (
  3)若 f (α ) =
1 π ,求 sin(2α ? ) 的值. 5 2

  17.已知向量 a = ( cos α ,sin α ), = ( cos x, sin x ) , = ( sin x + 2 sin α , cos x + 2 cos α ) , b c 其中 0 < α < x < π .(
  1)若 α =
π ,求函数 f ( x ) = b ? c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (
  2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a ⊥ c ,求 tan 2α 的值. 3

  18.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑到 防洪堤坚固性及石块用料等因素, 设计其横断面要求面积为 9 3 平方米, 且高度不低于 3 米. 记防洪堤横断面的腰长为 x (米) 外周长 .......BC 与两腰长的和) y(米) , (梯形的上底线段 。 ...... 为 ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过
  10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时, 堤的上面与两侧面的水泥用料最省 (即断面的外周长最 小)?求此时外周长的值。
B
C
x
60
A

  19.在数列 {a n } 中, a1 + a2 + a3 + ... + an = n ? an ( n = 1, 2,
  3... ) . (
  1)求 a1 , a2 , a3 的值; (
  2)设 bn = an ? 1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (
  3)设 cn = bn ? ( n ? n ) ( n = 1, 2,
  3... ) ,如果对任意 n ∈ N ,都有 cn <
2
*
D
t ,求正整数 t 的 5
最小值.
20 已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 + an = 3 ? 2 (
  1)求 a2 , a3 ; (
  2)求 an 的通项公式; (
  3)证明: 参考答案
  1. x ?1 ≤ x < 2
  8.7
  9.
n ?1
(n ≥
  2) .
1 1 1 5 + +? + < (n ≥
  1) a2 ? 1 a3 ? 1 an +1 ? 1 3
{
}

  2.6

  3.
π
2

  4. c < a < b

  5. (0,
  2)

  6.(
  3)(
  4)
  7. (1 , e )
1 2

  10.
49 50

  11.2010

  12.1
  13. (-
2 3 3 , ) ∪ ( , +  )
  14.12 7 2 2

  15.解: (
  1)当 λ =
1 1 时, AP = AB , 3 3
2 2 2 1 CP = (CA + AP ) 2 = CA + 2CA ? AP + AP = 62 ? 2 × 6 × 2 × + 22 = 28 .∴ | CP |= 2 7 2 ( 2 ) 设 等 边 三 角 形 的 边 长 为 a , 则 1 CP ? AB = (CA + AP ) ? AB = (CA + λ AB ) ? AB = ? a 2 + λa 2 , 2 PA ? PB = PA ? ( AB ? AP ) = λ AB ? ( AB ? λ AB ) = ?λa 2 + λ 2 a 2 即 1 ? a 2 + λa 2 ≥ ?λa 2 + λ 2 a 2 , 2 1 2? 2 2+ 2 2? 2 2 ≤λ≤ ∴ λ ? 2λ + ≤ 0 ,∴ . 又 0 ≤ λ ≤ 1 ,∴ ≤ λ ≤
  1. 2 2 2 2 π π π 5π
  16. 解: (
  1)∵ f ( x ) = 2 sin( x + ) ∵ 0 ≤ x ≤ π ,∴ ≤ x + ≤ 4 4 4 4
所以当 x +
π
4
=
π

  2)当 0 ≤ x +
π
4
2

,即 x =
π
π
2
4
时, f ( x ) 有最大值 2
时 f ( x ) 单调增,当
π
2
≤ x+
π
4
≤ π 时 f ( x) 单调减,
] ,单调减区间是 [ , π ] 4 4 1 π 3π 3π (
  3)∵ sin α + cos α = , 0 ≤ α ≤ π ,∴ ≤ x ≤ ∴ π ≤ 2α ≤ 5 2 4 2 1 24 7 ∵ (sin α + cos α ) 2 = , 所 以 sin 2α = ? ∴ cos 2α = ? 25 25 25 π 7 ∴ sin(2α ? ) = ? cos 2α = 2 25
所以 f ( x ) 的单调增区间是 [0,
  17. (
  1)∵ b = ( cos x, sin x ) , c = ( sin x + 2sin α , cos x + 2 cos α ) , α =
= 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) .
π
π
∴ f ( x) = b ? c = cos x sin x + 2 cos x sin α + sin x cos x + 2 sin x cos α
π , 4
令 t = sin x + cos x(0 < x < π) ,则 2sin x cos x = t 2 ? 1 ,且 ?1 < t ≤ 2 .
2 2 3 ) ? , ?1 < t ≤ 2 . 2 2 2 3 2 11π ∴t = ? 时, ymin = ? ,此时 sin x + cos x = ? .由于 0 < x < π ,故 x = . 2 2 2 12 3 11π 所以函数 f ( x) 的最小值为 ? ,相应 x 的值为 . 2 12 π a ?b π = cos α cos x + sin α sin x = cos( x ? α ) (
  2) ∵ a 与 b 的夹角为 ,∴ cos s = 3 | a |?| b | 3 则 y = f ( x) = t 2 + 2t ? 1 = (t +
∵ 0 < α < x < π ,∴ 0 < x ? α < π ,∴ x ? α =
∴ cos α (sin x + 2sin α ) + sin α (cos x + 2cos α ) = 0 . π ∴ sin( x + α ) + 2sin 2α = 0 , sin(2α + ) + 2sin 2α = 0 . 3 5 3 3 ∴ sin 2α + cos 2α = 0 ,∴ tan 2α = ? . 2 2 5
  18.解:⑴ 9 3 =
π .∵ a ⊥ c , 3
1 x 3 ( AD + BC )h ,其中 AD = BC + 2 ? = BC + x , h = x, 2 2 2
? 3
x≥ 3 ?h = 1 3 18 x 2 ∴ 9 3 = (2 BC + x ) x ,得 BC = ? ,由 ? ,得 2 ≤ x < 6 ? 2 2 x 2 ? BC = 18 ? x > 0 ? ? x 2
∴ y = BC + 2 x = ⑵y=
18 3 x + , (2 ≤ x <
  6) ; x 2
18 3 x + ≤
  10.5 得 3 ≤ x ≤ 4 ∵ [3, 4] ? [2,
  6) x 2 ∴腰长 x 的范围是 [3, 4]
⑶y=
18 3x 18 3x 18 3 x + ≥2 ? =6
  3, 当并且仅当 = , x = 2 3 ∈ [2,
  6) 时等号成立. 即 x 2 x 2 x 2 ∴外周长的最小值为 6 3 米,此时腰长为 2 3 米. 1 3
  19、解: (
  1)由已知可得 a1 = 1 ? a1 ,得 a1 = 又 a1 + a 2 = 2 ? a 2 ,得 a 2 = 2 4 7 a1 + a 2 + a3 = 3 ? a3 ,得 a 3 = 8 (
  2)由已知可得: S n = n ? a n ∴ n ≥ 2 时, S n ?1 = (n ?
  1) ? a n ?1 1 1 ∴ n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = 1 ? a n + a n ?1 得 a n = a n ?1 + ∴ n ≥ 2 时, 2 2 1 1 1 1 1 a n ? 1 = a n ?1 ? = (a n?1 ?
  1) ,即 n ≥ 2 时, bn = bn?1 , b1 = a1 ? 1 = ? ≠ 0 2 2 2 2 2 1 1 ∴ 数列 {bn } 是等比数列,且首项为 ? ,公比为 2 2 1 n2 ? n 2 (
  3)由(
  2)可得, bn = ? n ∴ c n = bn ? ( n ? n ) = 2 2n (n +
  1) 2 ? (n +
  1) n 2 ? n n(3 ? n) ∴ c n +1 ? c n = ? = ∴ c1 < c 2 < c3 = c 4 > c5 > ? 2 n +1 2n 2 n +1 3 3 t t * ∴ c n 有最大值 c3 = c 4 = 对任意 n ∈ N ,都有 cn < ,当且仅当 < , 5 4 4 5 15 即t > ,故正整数 t 的最小值是
  4. 4 n?2
  20.(
  1)∵ a1 = 1, an + an ?1 = 3 ? 2 ( n ≥
  2) ,∴ a2 = 2 ∴ a3 = 4 n?2 n?4 (
  2)当 n 为偶数时 an + an ?1 = 3 ? 2 , an ? 2 + an ?3 = 3 ? 2 ? a4 + a3 = 3 ? 22 , a2 + a1 = 3
(22 ) 2 ? 1 ∴ S n = 3(2n ? 2 + 2n ? 4 + ? + 22 +
  1) = 3 ? 2 = 2n ? 1 2 ?1 n?2 n?4 当 n 为奇数时, an + an ?1 = 3 ? 2 , an ? 2 + an ?3 = 3 ? 2 ? a5 + a4 = 3 ? 23 , a3 + a2 = 3 ? 2 , a1 = 1 2[(22 ) 2 ? 1] ∴ S n = 3(2n ? 2 + 2n ? 4 + ? + 23 +
  2) + 1 = 3 ? + 1 = 2n ? 1 当 n ≥ 2 时 , 22 ? 1 an = S n ? S n ?1 = 2 n ? 1 ? 2 n ?1 + 1 = 2n ?1 当 n = 1 时, a1 = 21?1 = 1 ,∴ an = 2n ?1 n?2 或解:∵ an + an ?1 = 3 ? 2 ∴ an + an ?1 = 2n ?1 + 2n ? 2
an ? 2n ?1 = ?(an ?1 ? 2n ? 2 )
当 n 为偶数时: an ? 2 当 n 为奇数时: an ? 2 所以 an = 2 (
  3)∵ 2
n ?1 n ?1 n ?1
n
n?1
= ?(an ?1 ? 2n ? 2 ) = ? = ?(a1 ? 20 ) = 0 ∴ an = 2n ?1 = ?(an ?1 ? 2n ? 2 ) = ? = a1 ? 20 = 0 ∴ an = 2n ?1
2n +1 >1 2n ?1 ? 1 1 2 n +1 1 1 ∴ n < n = 2( n ? n +1 ) n +1 2 ? 1 (2 ?
  1)(2 ?
  1) 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +? + = + 2 + 3 +? + n a2 ? 1 a3 ? 1 a4 ? 1 an +1 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 < 1 + 2( ? ) + 2( ? ) + ? + 2( n ? n+1 ) 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 2 2 5 = 1 + ? n+1 < 3 2 ?1 3
n +1
> 2 n +1 ? 1

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