惠州市2011届高三第二次调研考试数学(理科)试题



201 届高三 调研考试 惠州市 2011 届高三第二次调研考试
数学试题( 数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项:
  1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。
  2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
  3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题 是符合题目要求的. 是符合题目要求的.
  1.已知集合 A = {x y = ln x} ,集合 B = {?2, ?1,1, 2} ,则 A ∩ B = ( A. (0, +∞ ) B. {?1, ?2} C. (1, 2 ) )
D. {1, 2} )

  2.在四边形 ABCD 中, AB = DC , 且 | AB |=| BC | ,那么四边形 ABCD 为( A.平行四边形 B.菱形 C.长方形 D.正方形 )
开始

  3.在等差数列 {an } 中,若 a1 + a5 + a9 =
π
4
,则 tan( a4 + a6 ) = (
A.
3 3
B. 3
C.1
D.-1
输入 n S=1,k=1 =1,k=1 否

  4.给定空间中的直线 l 及平面 α ,条件“直线 l 与平面 α 内无 数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的( A.充分非必要条件. C.充要条件. B.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件. ) )
k ≤n 是 S=S×2 = × k=k+1 =

  5.如右图所示的程序框图, 若输入 n=
  3, 则输出结果是 ( A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
  6.△ABC 中, c = ( A. )
输出 S 结束
3, b = 1, ∠B = 30° ,则△ABC 的面积等于
第 5 题图
3 2
B.
3 4
C.
3 或 3 2
D.
3 3 或 2 4
数学试题(理科)
第 1 页 共 4 页

  7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,不同 的选法共有( A.140 种 ) B. 120 种 C.35 种 D.34 种

  8.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的 直线,与正方体表面相交于 M ,N .设 BP = x , MN = y ,则函数 y = f ( x) 的图像大致是 ( A1 D A M ) D1 B1 P N B C1 y y y y
C
O A.
x
O B.
x
O C.
x
O D.
x
小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(
  9~13 题) 必做题(
  9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高 二、高三分别有学生 800 名、 600 名、 500 名,若高三学生共抽取 25 名,则高一学生抽取的人 数是 .

  10.若 ( a ? 2i )i = b + i ,其中 a, b ∈ R, i 是虚数单位,则 a + b = .
  11.曲线 y = ln x 在点 M (e,
  1) 处切线的方程为.
  12.在 ( x +
2
1 10 ) 的二项展开式中, x11 的系数是. 2x

  13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被、 甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值 k ,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍,你可以从给 出的简单图形①(甲:大矩形 ABCD ,乙:小矩形 EFCB ) 、②(甲:大直角三角形 ABC , 乙:小直角三角形 DBC ) 中体会这个原理,现在图 ③ 中 的 曲 线 分 别 是 l 将 l 向右平移 A E 甲 乙 B ①
数学试题(理科)
y D F 甲 乙 C B ②
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A D O x
x2 y2 + = 1(a > b >
  0) 与 a2 b2
C ③
x 2 + y 2 = a 2 ,运用上面的原理,图③中椭圆的面积为

考生只能从中选做一题;两道题都做的, 题的分) (二)选做题(
  14~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分) 选做题( ~
  14.(几何证明选讲选做题)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=
  2, (几何证明选讲选做题) AC 和 AD 是⊙O 的两条弦,AC= 2 ,AD= 3 , 则∠CAD= . A O B C

  15.( 坐标系与参数方程选做题 ) 极坐标方程分别是 ρ = cos θ 和 ( 坐标系与参数方程选做题)
D (第 14 题图)
ρ = sin θ 的两个圆的圆心距是

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:
  16.(本题满分 12 分) 已知向量 a = (cos x, sin x ), b = ( ? cos x, cos x), c = ( ?1,
  0). (
  1)若 x =
π
6
,求向量 a 与 c 的夹角;

  2)当 x ∈ [
π 9π
, ] 时,求函数 f ( x) = 2a ? b + 1 的最大值。 2 8

  17.(本题满分 12 分) 如 图 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD , ABCD 为 正 方 形 ,
∠PAD = 90o ,且 PA = AD,E、F 分别是线段 PA、CD 的中点.

  1)求证: PA ⊥ 平面 ABCD ; (
  2)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值.

  18.(本题满分 14 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测,设各项技 术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. (
  1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率; (
  2)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 ξ 分布列及 Eξ .
3 8 ,B 项技术指标达标的概率为 ,按 4 9
数学试题(理科)
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  19.(本题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 = 3, an +1 = 2an ? 1( n ≥
  1) (
  1)设 bn = an ? 1( n = 1, 2, 3?) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (
  2)求数列 {an } 的通项公式 (
  3)设 cn =
2n 1 ,求证:数列 {cn } 的前 n 项和 S n < . an ? an +1 3

  20.(本题满分 14 分) 已知椭圆中心 E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( ?2,
  0) 、 B (2,
  0) 、 C ? 1, (
  1)求椭圆 E 的方程: (
  2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ?1,
  0), H (1,
  0) ,当 ?DFH 内切圆的 面积最大时,求内切圆圆心的坐标; (
  3)若直线 l : y = k ( x ?
  1)( k ≠
  0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的 交点在直线 x = 4 上.
  21.(本题满分 14 分) 设 M 是由满足下列条件的函数 f (x ) 构成的集合: “①方程 f (x ) ? x = 0 有实数根;②函数
? 3? ? 三点. ? 2?
f (x) 的导数 f ′(x) 满足 0 < f ′( x) < 1 .”

  1)判断函数 f ( x ) =
x sin x + 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4

  2) 集合 M 中的元素 f (x ) 具有下面的性质: f (x ) 的定义域为 D, 若 则对于任意 [ m, n] ? D, 都存在 x 0 ∈ [ m, n] , 使得等式 f ( n) ? f ( m) = ( n ? m) f ′( x 0 ) 成立”试用这一性质证明: , 方程 f ( x ) ? x = 0 只有一个实数根; (
  3)设 x1 是方程 f ( x ) ? x = 0 的实数根,求证:对于 f (x ) 定义域中任意的
x 2 , x3 , 当 | x 2 ? x1 |< 1, 且 | x3 ? x1 |< 1时, | f ( x3 ) ? f ( x 2 ) |< 2 .
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