广东省2011年高考全真模拟考试文科数学试题(五)



年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(五)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式: 参考公式: 球体的体积公式 V =
4 3 π r ,其中 r 为球半径长. 3
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的
  1、如图所示,U 表示全集,则用 A 、B 表示阴影部分正确的是( A. CU ( A U B ) C. CU ( A I B ) B. CU A U CU B D. A U B )

  2、函数 f ( x) = 2 sin( x + A.奇函数
π
2
) 在其定义域上是(
C. 增函数
) D. 减函数 ). D、10
B. 偶函数

  3、等差数列 {a n } 中,a3 = 7, a 9 = 19, 则a 5为 ( A、13 B、12 C、11
否命题、 逆否命题中,
  4、 原命题: a、b、c ∈ R, 若a > b, 则ac 2 >bc 2 ”以及它的逆命题, “设 真命题共有( A. 0 )个. B. 1
C. 2
D. 4 )
uuu r uuur uuur
  5、已知正方形 ABCD 边长为
  1,则 A B + B C + A C = (
A. 0 B. 2 C. 2 D. 2 2

  6、一个正方体的体积是
  8,则这个正方体的内切球的表面积是( A、 8π B、 6π C、 4π D、 π )


  7、方程 Ax + By + C = 0 表示倾斜角为锐角的直线,则必有( A. AB > 0 B. AB < 0 C . BC > 0
D. BC < 0 ).

  8、若焦点在 x 轴上的椭圆
x2 y2 1 + = 1 的离心率为 ,则 m =( 2 m 2
C、
A、
3 2
B、 3
8 3
D、
2 3

  9、 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 过点 M ( ?4, ?2,
  3) 作直线 OM 的垂线 l , 则直线 l 与平面 Oxy 的 交点 P ( x, y,
  0) 的坐标满足条件( A. 4 x + 2 y ? 29 = 0 C. 4 x + 2 y + 29 = 0 ) B. 4 x ? 2 y + 29 = 0 D. 4 x ? 2 y ? 29 = 0
-1-
10 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a 、 b ∈ R , 满 足
f (ab) = af (b) + bf ( a) , f (
  2) = 2 , an =
f (2n ) f (2n ) ( n ∈ N ? ) bn = , ( n ∈ N ? ).考查 n 2n
下列结论:① f (
  0) = f (
  1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 {an } 为等比数列;④ {bn } 为等差数 列。其中正确的是 A、①②③ (一)必做题(11 必做题( B、①③④ 13 题) C、③④ ( D、①③ )
小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 填空题:
  11.有一杯 2 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯 水中取出
  0.3 升的水,则小杯水中含有这个细菌的概率

  12. 某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时 至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示.已知 9 时至 10 时的销售额为
  2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为万元
  13. 阅读图 2 所示的框图,若输入 x 的值为
  3,则输出 y 的值为 考生只能从中选做一题) (二)选做题(
  14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(
  14、
  14.(几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题) 几何证明选讲选做题 如右图, A 、 B 是两圆的交点, AC 是小圆的直径, D 和 E 分别 .
是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点, 已知 AC = 4, BE = 10 , BC = AD , DE = 且 则
  15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为 坐标系与参数方程选做题)
D
π 2 7π ,则点 A ( 2, ) 到这条直线的距离为 ρ sin(θ + ) =
4 2
4
C
A
B
E
小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 解答题: 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤. 证明过程和演算步骤
  16. 本小题满分 12 分) (本小题满分
第 14 题图
1 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 tan A = , tan B = ,且最长边的 2 3 边长为 l. ,求: (
  1)角 C 的大小; (
  2)△ABC 最短边的长.
-2-

  17. 本小题满分 12 分) (本小题满分 央视为改版后的《非常
  6+
  1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时间为 30 秒,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟, 收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有
  3.5 分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣传 片提供不多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收视观 众最多?

  18. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分14分 如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱 的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点 (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ⊥ 平面 A1 AC ; (Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比

  19. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 甲、 乙两人进行射击比赛, 在一轮比赛中, 甲、 乙各射击一发子弹. 根 ( 据以往资料知,甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为
  0.
  6,
  0.
  3,
  0.
  1,乙击中 8 环,9 环, 10 环的概率分别为
  0.
  4,
  0.
  4,
  0.
  2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.
-3-

  20. 本小题满分 14 分) . ( 抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = ?2 , 该抛物线上的每个点到准线 x = ?2 的距离都与到定 点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x 和 l2 : y = ? x 相切的圆. (
  1)求定点 N 的坐标; (
  2)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,
  1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 .

  21. 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = e x ? kx,x ∈ R (Ⅰ)若 k = e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k > 0 ,且对于任意 x ∈ R , f ( x ) > 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( ? x ) ,求证: F (
  1) F (
  2) L F ( n) > (e
n +1
+
  2) 2 (n ∈ N? )
n
-4-
年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(五) 答 案
小题, 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 选择题:本大题考查基本知识和基本运算. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 C 10 B
选择题参考答案: 选择题参考答案
  1. 从图形可以看出阴影部分为 CU ( A U B ) ,选 A
  2. 将函数表达式化简 f ( x ) = 2 sin( x +
π
2
) = 2 cos x ,由于余弦函数是偶函数,则该函数也是
偶函数,因为余弦函数在整个定义域上单调性不唯一,则整个定义域上不是单调函数,选 B
  3.根据公式 a3 = a1 + 2d = 7, a9 = a1 + 8d = 19 , 解方程得到 ?
?a1 = 3 ?d = 2
故 a5 = a1 + 4d = 11 ,选 C
  4. 因 为 c 可 能 为 0 , 则 原 命 题 不 成 立 , 逆 否 命 题 也 不 成 立 , 逆 命 题 为 “ a、b、c ∈ R, 若ac 2 > bc 2 , 则a > b ” 显然是成立的,则否命题也 成立,选 C
  5.化简:
uuu r uuur uuur uuuv uuuv AB + BC + AC = AC + AC
=2 AC = 2 2 ,选 D
uuuv

  6.正方体的体积为
  8,故边长为
  2,内切球的的半径为
  1,则表面积 S = 4π R = 4π ,选 C
2

  7.倾斜角为锐角, 则直线的斜率为正数, Ax + By + C = 0 , 由 则斜率 k = ?
A > 0, 化简 AB < 0 , B
选B
  8.由题意,则 a =
2, c = 2 ? m , e =
c 2?m 1 = = , a 2 2
化简后得 m =
  1.5
,选 A
-5-

  9.本题可利用排除法,点 M ( ?4, ?2,
  3) 必符合直线,代入检验,C 选项符合题意 10, 令 a = b = 0 , 得到 f (
  0) = 0 ; = b = 1 , a 得到 f (
  1) = 0 , 故①正确,f (ab) = af (b) + bf ( a) ,
f (
  2) = 2 , n ∈ N ? ) bn = ( ,
f (2n +1 ) f (2 ? 2n ) 2 f (2n ) + 2n f (
  2) f (2n ) ,bn +1 = = = = bn + 1 , 2n 2n +1 2 n +1 2 n +1
说明 {bn } 为等差数列,故④正确,同理③可以类似推出,观察选项,选 B 小题, 二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性. 题是选做题,考生只能选做一 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.
  11.
3 20

  12. 10
  13.
1

  14. 6 3

  15.
2 2
填空题参考答案: 填空题参考答案:

  11.本题为几何概型,概率为体积之比,即 P =

  0.3 =
  0.15 2
  0.4 = 10 (万)
  0.1

  12.观察统计表格中两段的频率之比,则人数为
  2.5 ×

  13.由 3 > 1 ,则代入 y = x 2 ? 4 x + 4 计算可得到 y = 1

  14. 设 BC = AD = x ,连接 AE , ?CAE
?CED ,则有
CA CB 4 x = ,∴ = , ,化简得 CE CD x + 10 4 + x
到 x = 2 ,根据勾股定理,则 DE = 12 ? 6 = 6 3
2 2
-6-

  15. 直线 ρ sin(θ +
π
4
)=
2 7π ,可化为 x + y ? 1 = 0 ,点 A ( 2, ) 可化为 A( 2, ?
  2) ,根据点 2 4
到直线的距离公式 d =
2 ? 2 ?1 2
=
2 2
三、解答题:本大题共6小题,满分 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共 小题 满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 小题, 解答题
  16. 本小题满分 12 分) (本小题满分
1 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 tan A = , tan B = ,且最长边的边长 2 3
为 l. 求: (
  1)角 C 的大小; 解: (
  1)tanC=tan[π-(A+B)] ……2 分 =-tan(A+B)
1 1 + tan A + tan B =? = ? 2 3 = ?1 1 1 1 ? tan A tan B 1? × 2 3
∵0 < C <π , ∴C =
……4 分
3π 4
……6 分

  2)△ABC 最短边的长. 解:∵0<tanB<tanA,∴A、B 均为锐角, 则 B<A, 又 C 为钝角,∴最短边为 b ,最长边长为 c ……8 分 由 tan B =
1 , 3
10 10 b c 由 = ,……10 分 sin B sin C
解得 sin B =
-7-
c ? sin B ∴b = = sin C

10 10 = 5 5 2 2
……12 分

  17. 本小题满分 12 分) (本小题满分 (本题为线性规划问题,重点考察学生的审题能力和解决生活中实际问题的能力) 本题为线性规划问题,重点考察学生的审题能力和解决生活中实际问题的能力) 央视为改版后的《非常
  6+
  1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时间为 30 秒,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟, 收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有
  3.5 分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣传 片提供不多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收视观 众最多? 解:设电视台每周应播映片甲 x 次,片乙 y 次总收视观众为 z 万人. 则有如下条件:
目标函数
……6 分
作出满足条件的区域:如下图
由图解法可得:当 x=
  3, y=2 时,zmax=2
  20.……10 分 答:电视台每周应播映甲种片集 3 次,乙种片集 2 次才能使得收视观众最多.……12 分
-8-

  18. (本小题满分 14 分) 本小题满分 如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱
的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ⊥ 平面 A1 AC ; 证明: 因为侧面 ABB1 A1 是圆柱的的轴截面, 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点,所以 AC ⊥ BC ………2 分 又圆柱母线 AA1 ⊥平面 ABC ,
BC ? 平面 ABC ,所以 AA1 ⊥ BC ,
又 AA1 I AC = A ,所以 BC ⊥平面 A1 AC , 因为 BC ? 平面 A1 BC , 故平面 A1 BC ⊥ 平面 A1 AC ;…………………………………6 分
(Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比。 解:设圆柱的底面半径为母线长度为 h , 当点 C 是弧 AB 的中点时,三角形 ABC 的面积为 r 2 , 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 r 2 h , 三棱锥 A1 ? ABC 的体积为 r 2 h , 四棱锥 A1 ? BCC1 B1 的体积为 r 2 h ?
1 3
1 2 2 r h = r 2h , 3 3
………………10 分
圆柱的体积为 π r 2 h ,
…………………………12 分
-9-
四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比为 2 : 3π .…………………14 分

  19. 本小题满分 14 分) (本小题满分 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知, 甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为
  0.
  6,
  0.
  3,
  0.
  1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别 为
  0.
  4,
  0.
  4,
  0.
  2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; 解:记 A
  1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,
B
  1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数, C
  1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数

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  怎样搞数学竞赛 搞竞赛要找好苗子,他(她)应该是有热情的,勤奋的,更应该是有抱负的,不畏艰难的;不 能搞抱佛脚的事。冰冻三尺,非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。 细细地说来,注意事项还有很多。在此先说一些,挂一漏万,请见谅。 一、在进度方面: 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完, 并在高一上学期应该完成 像高三一样的两轮复习,基础太重要了,第一试占了 150 分,不可小视。然后,就是竞赛内 容了,不要以为看几本竞赛书就可以了,因为那些书上讲得太粗略;这时 ...

小学四年级信息技术期末考试试卷

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