高中数学\_函数试题



一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
  1.函数 y = f ( 2 x ?
  1) 是偶函数,则函数 y = f ( 2 x ) 的对称轴是 ( )
1 1 D. x = ? 2 2 x
  2.已知 0 < a < 1, b < ?1 ,则函数 y = a + b 的图象不经过
A. x = 0 B. x = ?1 C. x = A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
  3.函数 y = ln x + 2 x ? 6 的零点必定位于区间 A.(1,
  2) B.(2,
  3) C.(3,
  4) D.(4,
  5)
  4.给出四个命题: (
  1)当 n = 0 时, y = x 的图象是一条直线; (
  2)幂函数图象都经过(
  0,
  1)(
  1,
  1)两点; 、 (
  3)幂函数图象不可能出现在第四象限;
n


( )

  4)幂函数 y = x n 在第一象限为减函数,则 n < 0 。 其中正确的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
  5.函数 y = a x 在[
  0,1]上的最大值与最小值的和为
  3,则 a 的值为


( )
1 1 B.2 C.4 D. 2 4
  6.设 f ( x) 是奇函数,当 x > 0 时, f ( x) = log 2 x, 则当 x < 0 时, f ( x) = A. ? log 2 x B. log 2 ( ? x) C. log 2 x D. ? log 2 ( ? x)
A.
2
( )

  7.若方程
  2( m + 1 ) x +4 mx + 3m ? 2 = 0 的两根同号,则 m 的取值范围为 ( ) A. ? 2 < m < ?1 C. m < ?1 或 m > B. ? 2 ≤ m < ?1 或
8 . 已 知 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 < x < 1 时 , f ( x) = lg x. 设
2 3
2 < m ≤1 3 2 D. ? 2 < m < ?1 或 < m < 1 3
6 3 5 a = f ( ), b = f ( ), c = f ( ), 则 ( ) 5 2 2 A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b ( )
  9.已知 0 < x < y < a < 1 ,则有 A. log a ( xy ) < 0 B. 0 < log a ( xy ) < 1 C.1< log a ( xy ) < 0 D. log a ( xy ) > 2
  10.已知 0 < a < 1 , log a m < log a n < 0, 则 ( ) A. 1 < n < m B. 1 < m < n C. m < n < 1 D. n < m < 1 2+ x ? x? ?2?
  11.设 f ( x) = lg , 则 f ? ? + f ? ? 的定义域为 ( ) 2? x ?2? ? x? A.( ? 4,
  0) ∪ (0,
  4) B. ( ?4,?
  1) ∪ (1,
  4) C.( ? 2,?
  1) ∪ (1,
  2) D.( ? 4,?
  2) ∪ ( 2,
  4)

  12.已知 f ( x) = ?
?(3a ?
  1) x + 4a, x < 1 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( ) ? log a x, x ≥ 1
1 3
C. ? , ?
2
A.(0,
  1) B.(0, )
?1 1 ? ?7 3 ?
D. ? ,1? .
?1 ? ?7 ?
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。
  13.若函数 y = log a ( kx + 4kx +
  3) 的定义域是 R,则 k 的取值范围是
用心
爱心
专心
1

  14. 函数 f ( x ) = 2ax + 2a + 1, x ∈ [?1,1], 若 f (x ) 的值有正有负, 则实数 a 的取值范围为 .
  15.光线透过一块玻璃板,其强度要减弱 有这样的玻璃板
  16.给出下列命题:
3
x
1 1 ,要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少 10 3 块。 (参考数据: lg 2 ≈
  0.3010, lg 3 ≈
  0.47
  71)
x
①函数 y = a x (a > 0, a ≠
  1) 与函数 y = log a a (a > 0, a ≠
  1) 的定义域相同; ②函数 y = x 与 y = 3 的值域相同;
1 1 (1 + 2 x ) 2 + x 与函数 y = 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x ④函数 y = ( x ?
  1) 2 与 y = 2 x ? 1 在 R+ 上都是增函数。
③函数 y = 其中正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
  17. (本小题满分 12 分)
ex a + 设 a > 0 , f ( x) = 是 R 上的偶函数。 a ex ⑴求 a 的值; ⑵证明: f (x ) 在 (0,+∞ ) 上是增函数。

  18. (本小题满分 12 分) 记函数 f ( x) =
2?
x+3 的定义域为 A, g ( x ) = lg[( x ? a ?
  1)( 2a ? x)](a <
  1) 的定义 x +1
域为 B。 ⑴求 A; ⑵若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。
  19. (本小题满分 12 分) 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。 根据以前的统计数据, 若零售价定为每 瓶 4 元,每月可售出 400 瓶;若每瓶售价每降低
  0.05 元,则可多销售 40 瓶,在每月的进 货量当月销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方案: 销售价应定为多少元和从工厂购进 多少瓶时,才可获得最大的利润?
  20. (本小题满分 14 分) 已知方程 x + ax + 2 = 0 ,分别在下列条件下,求实数 a 的取值范围。 ⑴方程的两根都小于 ? 1 ; ⑵方程的两个根都在区间 (?2,
  0) 内;
2
⑶方程的两个根,一个根大于 ? 1 ,一个根小于 ? 1 。
  21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = log a ( x +
  1), g ( x ) = log a (1 ? x )(其中a > 0, 且a ≠
  1) ⑴求函数 f ( x ) + g ( x ) 的定义域; ⑵判断函数 f ( x ) ? g ( x ) 的奇偶性,并予以证明; ⑶求使 f ( x ) + g ( x ) <0 成立的 x 的集合。
  22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) 对任意 a, b ∈ R 都有 f ( a + b) = f ( a ) + f (b) ? 1, 并且当 x > 0 时 f ( x ) > 1 。 求证:函数 f ( x ) 是 R 上的增函数。
用心
爱心
专心
2
⒈D ⒉ A ⒊B ⒋B ⒑A ⒒ B ⒓ C
⒌B
⒍A
⒎B
⒏D ⒐D
y = (4 ?
  0.05 x)(400 + 40 x) ? 30(400 + 40 x)
? 3? ⒔ 0, ? ? 4 ? ?
⒘⑴Q
1 ⒕a < ? 4
⒖11
⒗①③
ex a + 是 R 上的偶函数 ∴ 对 a ex 于任意的 x ,都有 f ( ? x ) = f ( x ) f ( x) =
e?x a ex a + ?x = + , a a ex e 1 1 ( a ? )(e x + x ) = 0 a e 1 Qex + x > 0 ∴a = 1 e x ?x ⑵由⑴得 f ( x ) = e + e
即 故 任 取 化 简 得 ,
= ?2 x 2 + 20 x + 400 = ?2( x ?
  5) 2 + 450 ∴当x = 5即定价为4 ?
  0.05 × 5 =
  3.75元时,工厂购进600瓶 2 ⒛ 令 f ( x ) = x + ax +
  2. 因 为 方 程 有 两 个 实
根,所以 ? 故a
≥ 0, 即a 2 ? 8 ≥ 0,


f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = e x1 + e ? x1 ? e x2 ? e ? x2 = (e x1 ? e x2 ) + e x2 ? e x1 e x1 e x2
= (e x1 ? e x2 )(1 ?
1 ) e e x2
x1
Q x1 > x 2 > 0 ∴ e x1 > e x2 > 1,0 < 1 <1 x1 x2 e e 1 ∴ (e x1 ? e x2 )(1 ? x x ) >0 e 1e 2 因此 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 所以 f (x ) 在 (0,+∞ ) 上是增函数。
⒙ ⑴ 由
≤ ?2 2或a ≥ 2
  2. ① f ( x) = 0 的 两 个 根 都 小 于 ? 1, 所 以 f (?
  1) > 0 ,且对称轴在 x = ?1 左方,故有 ?3 ? a > 0, ? ?? a < ?1, 再综合①得 2 2 ≤ a <
  3. ? 2 ? ⑵ 因 为 两 根 均 在 ( ?2,
  0)内,f (
  0) = 2 > 0, 故 f (?
  2) > 0, 且 对 称 轴 在 x = ?2与x = 0之间 , 故 3 ? a > 0, a 且 ? 2 < ? < 0, 再综合①得 2 2 ≤ a <
  3. 2 ⑶ 因 为 一 根 大 于 ? 1, 一 根 小 于 ? 1 , 故 f (?
  1) < 0, 所以a >
  3. ?x + 1 > 0
  21.⑴由题意得: ? ∴ ?1 < x < 1 ?1 ? x > 0 所以所求定义域为 {x | ?1 < x < 1, x ∈ R} ⑵令 H ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) x +1 x) = log a ( x +
  1) ? log a (1 ? x) = log a 1? x 故 H ( x) 为 奇 函 数 ,
⑴因为
x+3 x ?1 ≥ 0, 得 ≥ 0,∴ x < ?1或x ≥ 1, x +1 x +1 即 A= ? ∞, 1 ∪ [1 + ∞) ( ?) , . 2?
⑵ 由
? x +1 ? x + 1? Q H (? x) = log a = log a ? ? 1+ x ?1? x ? ∴ H ( x) = f ( x) ? g ( x)为奇函数.

?1
= ? log
x +1 = ?H ( 1? x
Q f ( x) + g ( x) = log a ( x +
  1)(1 ? x) = log a (1 ? x 2 ) < 0 = log a 1
∴当a > 1时, < 1 ? x 2 < 1, 故0 < x < 1或 ? 1 < x < 0, 0 ( x ? a ?
  1)(2a ? x) > 0, 得(x ? a ?
  1)( x ? 2a) <
  0. 当 0 < a < 1 1 ? x > 1, 不等式无解. 时, 2 1 综 上 : Q B ? A,∴ 2a ≥ 1或a + 1 ≤ ?1, 即a ≥ 或a ≤ ?2, 而a < 1, 2 ∴当a > 1时,所求x的集合为{0 < x < 1或 ? 1 < x < 0}. 1
  22.设任取 x 1 , x 2 ∈ R, 且x1 > x 2 > 0, ∴ ≤ a < 1或a ≤ ?2 . 2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 + x 2 ? x 2 ) ? f ( x 2 ) 故当 B? A 时,实数 a 的取值范围是 ?1 ? = f ( x1 ? x 2 ) + f ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ( ? ∞ , ? 2] ∪ ? 2 ,1?. ? ? = f ( x1 ? x 2 ) ? 1 ⒚设销售价在 4 元的基础上降低
  0.05 x ,利润为 Q x1 > x 2 ,∴ x1 ? x 2 > 0,∴ f ( x1 ? x 2 ) > 1,即f ( x1 ? x 2 ) ? 1 > 0 y,
用心 爱心 专心 3

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