高中数学(必修四)三角函数



高中数学必修四〔三角函数〕 高中数学必修四〔三角函数〕
一、典型例题
log 1 (sin x ? cos x )
2 例
  1、已知函数 f(x)= (1 ) 、求它的定义域和值域; (2 ) 、求它的单调区间; (3 ) 、判断它的奇偶性; (4 ) 、判断它的周期性。 分析:

  1)x 必须满足 sinx-cosx>
  0,利用单位圆中的三角函数线及 π 5 (2kπ + , 2kπ + π) 4 4 ,k ∈Z ∴ 函数定义域为 π sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) 4 ∵ ∴ 当 x∈
( 2 kπ + 5 π π , 2kπ + π) 0 < sin( x ? ) ≤ 1 4 4 时, 4
2 kπ +
π 5 < x < 2kπ + π 4 4 ,k∈Z
∴ 0 < sin x ? cos ≤ 2
y ≥ log 1 2=? 1 2

2
1 , +∞ ∴ 函数值域为[ 2 ) (
  3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (
  4)∵ f(x+2π)=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号; 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号,如图。 ?

  2、化简
2 1 + sin α + 2(1 + cos α)
,α∈(π,2π)
分析: 凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 α α α α α α 1 + sin α = sin 2 + cos 2 + 2 sin cos = (sin + cos ) 2 2 2 2 2 2 2 ∵
α α ?
  1) = 4 cos 2 2 2 α α α 2 | sin + cos | +2 | cos | 2 2 2 ∴ 原式= ∵ α∈(π,2π) α π ∈ ( , π) 2 ∴ 2 2(1 + cos α ) = 2(1 + 2 cos 2

cos
α <0 2
π α 9 3 α α < ≤ π, π<α≤ π sin + cos > 0 2 时, 2 2 当2 2 4 α 2 sin 2 ∴ 原式=
3 α 3 α α π < < π, π < α < 2π sin + cos < 0 2 2 2 2 当4 时, ∴ 原式=
? 2 sin α α α ? 4 cos = ?2 5 sin( + arctan
  2) 2 2 2
α 3 ? π<α≤ π ?2 sin 2 ? 2 ? α 3 ?? 2 5 sin( + arctan
  2) π < α < 2π ? 2 2 ∴ 原式= ? 注:

  1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化 1 为 、本题利用了“ ”的逆代技巧, 一般地有 ,
sin 2
α α + cos 2 2 2
,是欲擒故纵原则。 是欲擒故纵原则。 。
1 + sin 2α =| sin α ± cos α | , 1 + cos 2α = 2 | cos α | , 1 ? cos 2α = 2 | sin α | 。


  2、三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化 、 是基本三角函数式之一,引进辅助角, 为
a 2 + b 2 sin( x + φ) ( 取
(取
φ = arctan
b a ) 是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 是常用变形手段。
sin
±cosx,±sinx± , ±

  3、求 sin 140 分析:
( 3
2 0
3 cosx,要熟练掌握变形结论。 ,要熟练掌握变形结论。
1 )? 1 2 sin 10 0 。
?
cos 140
2
0
3 cos 2 140 0 ? sin 2 140 0
原式= sin 140 cos 140
= =
2
0
2
0
?
1 2 sin 10 0
( 3 cos 140 0 ? sin 140 0 )( 3 cos 140 0 + sin 140 0 ) (? sin 40 cos 40 )
0 0 2
?
1 2 sin 10 0
? 4 sin 80 0 ? sin 200 0 1 ? 1 2 sin 10 0 sin 2 80 0 4 sin 200 0 sin 200 0 = ?8 = ?16 = 16 sin 80 0 cos 80 0 sin 160 0 注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。 1 x 2 ? ( 2 cos 40 0 ) x + cos 2 40 0 ? 2 =0 的两个实数根,求 例
  4、已知 00<α<β<9
  00,且 sinα,sinβ是方程 sin(β-5α)的值。 分析:
由韦达定理得
1 2 cos4
  00,sinαsinβ=cos2400- 2 sinα+sinβ=
∴ sinβ-sinα=
= 2 sin 40 0
(sin β ? sin α) 2 = (sin α + sin β) 2 ? 4 sin α sin β = 2(1 ? cos 2 40 0 )
又 sinα+sinβ= 2 cos400
1 ? 0 0 0 ?sin β = 2 ( 2 cos 40 + 2 sin 40 ) = sin 85 ? ? ?sin α = 1 ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) = sin 5 0 ? 2 ∴ ? ∵ 00<α<β< 900
?β = 85 0 ? ? ?α = 5 0 ∴ ?
3 ∴ sin(β-5α)=sin600= 2
注:利用韦达定理变形寻找与 sinα,sinβ相关的方程组,在求出 sin α β相关的方程组, 的值。 α,sinβ后再利用单调性求α,β的值。 β后再利用单调性求α

  5、
  1)已知 cos(2α+β)+5cosβ=
  0,求 tan(α+β)?tanα的值; ( 2 sin θ + cos θ = ?5 (
  2)已知 sin θ ? 3 cos θ ,求 3 cos 2θ + 4 sin 2θ 的值。 分析: 从变换角的差异着手。 ∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得: 13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0
13 同除以 cos(α+β)cosα得:tan(α+β)tanα= 3 以三角函数结构特点出发 2 sin θ + cos θ 2 tan θ + 1 = tan θ ? 3 ∵ sin θ ? 3 cos θ 2 tan θ + 1 = ?5 ∴ tan θ ? 3 ∴ tanθ=2 3 cos 2θ + 4 sin 2θ = 3(cos 2 θ ? sin 2 θ) + 8 sin θ cos θ sin θ + cos θ
2 2

=
3 ? 3 tan 2 θ + 8 tan θ 1 + tan θ
2
=
7 5
注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。 例
  6、已知函数 f ( x ) = a 分析: 对三角函数式降幂
x x sin 4 ? sin 2 2 2
(a∈(
  0,
  1)) ,求 f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。
sin 4
x x x x x x ? sin 2 = ? sin 2 (1 ? sin 2 ) = ? sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? cos 2 x cos 2x ? 1 = ?( sin x ) 2 = ? sin 2 x = ? ? = 2 4 4 2 8
cos 2 x ?1
8 ∴ f(x)= a 1 1 u = cos 2 x ? 8 8 令
则 y=au ∴ 0<a<1 ∴ y=au 是减函数 ∴ 由 2 x ∈ [ 2 k π ? π , 2 k π] 得 由 2 x ∈ [ 2 k π , 2 k π + π] 得
x ∈ [ kπ ? π , kπ] 2 ,此为 f(x)的减区间
π x ∈ [kπ , kπ + ] 2 ,此为 f(x)增区间
∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x) ∴ f(x)为偶函数 ∵ u(x+π)=f(x) ∴ f(x+π)=f(x) ∴ f(x)为周期函数,最小正周期为π 当 x=kπ(k∈Z)时,ymin=1 π 1 4 当 x=kπ+ 2 (k∈Z)时,ynax= a
等一元 注:研究三角函数性质,一般降幂化为 y=Asin(ωx+φ)等一元一次一 研究三角函数性质, ω φ 等一 项的形式。 项的形式。 练
一、选择题
π
  1、下列函数中,既是(
  0, 2 )上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y= 2
sin 2 x


π
  2、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=- 8 对称,则 a 值为( A 、- 2
B、-1 C、1 D、 2

π 5 π
  3、函数 y=Asin(ωx+φ)(A>
  0,φ>
  0) ,在一个周期内,当 x= 8 时,ymax=
  2;当 x= 8 时,ymin=-
  2,则 此函数解析式为( ) x π π y = 2 sin( + ) y = 2 sin(2 x + ) 2 4 4 A、 B、 π y = 2 sin( x + ) 4 C、 π y = ?2 sin( 2x + ) 8 D、
tan α + 1
  4、已知 1 ? tan α =19
  98,则 sec 2α + tan 2α 的值为(
A、1997 B、1998 C、1999
) D、2000 π π ∈ (? , ) x 2 + 3 3x + 4 = 0 两根,且α,β 2 2 ,则α+β等于(
  5、已知 tanα,tanβ是方程 2 2 π π 2 π ? π ? π ? π 3 3 或3 3或3 C、 A、 B、 D、 3

  6、若 x+y= π 3 ,则 sinx?siny 的最小值为( 1 3 ? B、- 2 C、 4


1 D、 4
A、-1
  7、函数 f(x)=3sin(x+1
  00)+5sin(x+7
  00)的最大值是( ) A、
  5.5 B、
  6.5 C、7 D、8
  8、若θ∈(
  0,2π],则使 sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是 π π 3 5 3 7 , π, π π, π π , 2π 2 ) D、 4 A、 4 2 ) ( B、 4 ( ) C、 4 ( ( )
  9、下列命题正确的是( ) A、若α,β是第一象限角,α>β,则 sinα>sinβ π π (2kπ ? , 2kπ + ) 2 2 ,k ∈Z B、函数 y=sinx?cotx 的单调区间是 1 ? cos 2x y= sin 2x 的最小正周期是 2π C、函数 D、函数 y=sinxcos2φ-cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x ) = log 1 (sin 2 x + cos 2x ) 3 的单调减区间是(
  10、函数 π π π π ( kπ ? , kπ + ) (kπ ? , kπ + ] 4 8 8 8 A、 B、
C、 二、填空题 ( kπ + π 3 , kπ + π) 8 8 D、 ( kπ +
φ=
kπ π + 2 4 ,k∈Z

π 5 , kπ + π) 8 8 k∈Z

  11、函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3 cos(x-θ)的图象关于 y 轴对称,则θ=。 π
  12、已知α+β= 3 ,且 3 (tanαtanβ+c)+tanα=
  0(c 为常数) ,那么 tanβ=。
  13、函数 y=2sinxcosx- 3 (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为。
  14、已知(x-
  1)2+(y-
  1)2=
  1,则 x+y 的最大值为。
  15、函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心是。
三、解答题
1 1 ?
  16、已知 tan(α-β)= 2 ,tanβ= 7 ,α,β∈(-π,
  0) ,求 2α-β的值。
5 3 π a? 2 在闭区间[
  0, 2 ]上的最大值是
  1?若存在,求出对
  17、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ 8 应的 a 值。
5 3 5 3 cos2x+ 2 (x∈R)
  18、已知 f(x)=5sinxcosx(1 ) 、求 f(x)的最小正周期; (2 ) 、求 f(x)单调区间; (3 ) 、求 f(x)图象的对称轴,对称中心。
参考答案 选择题
  1、B
  2、B
  3、B 填空题 π kπ ? 6 ,k∈Z
  11、 解答题

  16、 ? 7 π 4 3 2
4 、B

  5、A

  6、C

  7、C

  8、C

  9、D

  10、B

  12、 3 (c +
  1)

  13、-4

  14、 2 + 2
k π
  15、 3 ,
  0) (

  17、 y=sin2x+acosx+5a/8 -3/2 =(1-cosx^cosx)+acosx+5a/8 -3/2 =-cosx^cosx+acosx+5a/8-1/2 =-(cosx-a/
  2)(cosx-a/
  2)+a^a/4+5a/8-1/2
a=
如果存在 a 值满足条件,则 a^a/4+5a/8-1/2=1 解之得 a=3/2 或者-4 当 a=-4 时 y 取最大值时 cosx=a/2=-2 不存在 当 a=3/2 时 y 取最大值时 cosx=a/2=3/4 满足条件 所以 a=3/2
  18、
  1)T=π ( 5 5 11 π π , kπ + π] 12 (
  2)增区间[kπ- 12 ,kπ+ 12 π],减区间[kπ+ 12
kπ π k 5 + x= π+ π 2 12 ,k∈Z (
  3)对称中心( 2 6 ,
  0) ,对称轴

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