高二数学下册期末考试试卷9



西安市临潼区临潼中学 2009-2010 学年度第二学期期末考试
高二年级数学(理科)
本试卷共 20 题,满分为 160 分,考试时间为 120 分钟 一. 填充题 填充题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,计 70 分)
  1.已知 A11 = 11× 10 × L × 6 ,则 m =
m
6

  2.在极坐标系中,圆 ρ = 2sin θ 的圆心的极坐标是
(1,
π
2
)
.
1 ? ? x = ?2 2 + 2 t ? x = 1 + cos θ ?
  3. 曲线 C1 : ? (θ 为参数)上的点到曲线 C 2 : ? (t为参数) 上的点 1 ? y = sin θ ? y = 1? t ? ? 2
的最短距离为 1 .
  4.设随机变量 ξ 的分布列为 P (ξ = i ) = m( ) , i = 1, 2,3, 4 ,则 m 的值为
i
1 2
16 15

  5.已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(3, 3,
  2), B (4, ?3,
  7), C (0,5,
  1) ,则 BC 边上的中线长为 3
  6.如图,在空间四边形 OABC 中,已知 E 是线段 BC 的中点, G 是 AE 的
C
E G O A
uuur uuu uuu uuur r r r r r r r r 中点,若 OA, OB, OC 分别记为 a, b, c ,则用 a, b, c 表示 OG 的结果为 uuur 1r 1r 1r OG = a+ b+ c 2 4 4
n + (n +
  1) + L + (3n ?
  2) = (2n ?
  1) 2

  8. 设矩阵 ? .
B

  7.从 1 = 12 , 2 + 3 + 4 = 32 ,3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 52 中归纳出的一般结论为: . .
? 5 1? ?a b ? ? 的逆矩阵为 ? c d ? , 则 a + b + c + d = 0 ? 7 3? ? ?

  9.甲乙两队进行排球比赛,采用五局三胜制,已知每局比赛中甲胜的概率为 则在甲队以 2:0 领先的情况下,乙队获胜的概率为
2 1 ,乙胜的概率为 , 3 3
1 27
.

  10.在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,任何三条直线都不共点.设这 n 条直线将平面 分成 f ( n) 个部分,则 f ( k +
  1) ? f ( k ) =
k +1
.

  11.一个与自然数有关的命题,若 n = k ( k ∈ N ) 时命题成立可以推出 n = k + 1 时命题也成立.现
已知 n = 10 时该命题不成立,那么下列结论正确的是:
③ ⑤
(填上所有正确命
题的序号)① n = 11 时该命题一定不成立;② n = 11 时该命题一定成立;③ n = 1 时该命题一定 不成立;④至少存在一个自然数 n0 ,使 n = n0 时该命题成立;⑤该命题可能对所有自然数都不成 立
  12.若把英语单词“ good ”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 11 种.
  13.把 4 名男乒乓球选手和 4 名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛,不同的 比赛分配方法有 72 种(混合双打是 1 男 1 女对 1 男 1 女,用数字作答) 。
  14.已知 ? x ?
2
? ?
1 ? 且当 x ∈ [0,1] ? 的展开式中的常数项为 T ,f ( x) 是以 T 为周期的偶函数, 5x3 ?
5
时, f ( x ) = x ,若在区间 [ ?1,3] 内,函数 g ( x ) = f ( x ) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值 范围是
? 1? ? 0, ? ? 4?

二.解答题(本大题共 6 个小题,计 90 分) 解答题
  15.(本题 15 分)某班从 4 名男同学和 2 名女同学中任选 3 人参加全校举行的“八荣八耻”教育 演讲赛。如果设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女同学的人数. (
  1)若 ξ ≤ 1 ,求共有不同选法的种数; (
  2)求 ξ 的分布列和数学期望;
1 2 3
(
  3)求“ ξ ≥ 1 ”的概率。
解: (
  1) C2C4 + C4 = 16 ,所以共有不同选法的种数为 16; …………4 分 (
  2) 易知 ξ 可能取的值为 0,1,2 . P (ξ = k ) = 所以, ξ 的分布列为
3 C2k .C4 ? k , k = 0,1,
  2. 3 C6
ξ
P
0
1
2
1 5
3 5
1 5
………………………10 分
1 3 1 5 5 5 (
  3) “所选 3 人中女同学人数 ξ ≥ 1 ”的概率为: 4 P (ξ ≥
  1) = P (ξ =
  1) + P (ξ =
  2) = 。………15 分 5
(
  2)
ξ 的数学期望为: Eξ = 0 × + 1× + 2 × = 1 ; ………………………12 分

  16.(本题 16 分)已知二项式 ( x + ) 的展开式中前三项的系数成等差数列.
n
1 2
(
  1)求 n 的值; (
  2)设 ( x + ) = a0 + a1 x + a2 x + L + an x .
n 2 n
1 2
①求 a5 的值; 大值.
②求 a0 ? a1 + a2 ? a3 + L + ( ?
  1) an 的值;
n
③求 ai (i = 0,1, 2,L n) 的最
1 1 解:(
  1)由题设,得 C0 + × C2 = 2 × × C1 , ………………………3 分 n n n 4 2
即 n 2 ? 9n + 8 = 0 ,解得 n=
  8,n=
  1(舍去) .……………………4 分 (
  2) ① Tr +1 = C8r x8? r ?
7 ?1? ? ,令 8 ? r = 5 ? r = 3 ∴ a5 = ………………………7 分 4 ?2?
1 ………………………10 分 256
r
②在等式的两边取 x = ?1 ,得 a0 ? a1 + a2 ? a3 + L + a8 =
1 r +1 ?1 r ? 2r C8 ≥ 2r +1 C8 , ? ③设第 r+1 的系数最大,则 ? …………………12 分 ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1 . ? 2r 8 2r ?1 8 ? 1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2(r +
  1) , ? 即? 解得 r=2 或 r=
  3. …………………………14 分 ?1 ≥ 1 . ? 2r 9 ? 1 ?
所以 ai 系数最大值为 7 .………………16 分

  17. (本题 15 分)已知矩阵 A = ?
?x 3? ?4? ?9 ? ? , α = ? ?1? ,且 Aα = ? 4 ? . (
  1)求实数 x, y 的值; ?2 y ? ? ? ? ?
(
  3)计算 A
20
(
  2)求 A 的特征值 λ1 , λ2 (λ1 > λ2 ) 及对应的特征向量 α1 , α 2 ;
α.
解: (
  1) Aα = ?
2
? x 3 ? ? 4 ? ? 4 x ? 3 ? ?9 ? ? x = 3 ………………………3 分 ?? ? = ? ?=? ??? ? 2 y ? ? ?1? ? 8 ? y ? ? 4 ? ? y = 4
(
  2)由 λ ? 7λ + 6 = 0 ? λ1 = 6, λ2 = 1 ………………………5 分
设 α1 = ?
uu ?1? r uu ?3 ? r ? x1 ? ? 3 3 ? ? x1 ? ?6 x1 ? ? , ? 2 4 ? ? y ? = ?6 y ? ? 可取 α1 = ?1? ,同样可得α 2 = ? ?2 ? …………9 分 ? ? 1? ? 1? ?? ? ? ? y1 ? ?
(
  3) 令 ?
?4? ?1? ?3 ? ? m + 3n = 4 ?m = 1 ? = m ?1? + n ? ?2 ? ? ?m ? 2n = ?1 ? ? n = 1 ………………………13 分 ? ?1? ?? ? ? ? ?
所以 A20α = 620 α1 + 120 α 2 = ?
uu r
uu r
? 620 + 3 ? ? ………………………15 分 20 ?6 ? 2?

  18. (本题 14 分)如图, 已知 P 、O 分别是正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 上、 下底面的中心,E 是
AB 的中点, AB = kAA1 . (
  1)求证: A1 E ∥平面 PBC ;
(
  2)当 k =
2 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.
解:以点 O 为原点,直线 OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 不 妨 设 AB = 2 2 , 则 得
2 2 2 2 ) 、 E (1,1,
  0) 、 P(0, 0, ) 、 B(0, 2,
  0) 、 C (?2, 0,
  0) …2 分 k k uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r 2 2 2 2 (
  1)由上得 A1 E = (?1,1, ? ) 、 BC = (?2, ?2,
  0) 、 PB = (0, 2, ? ) ,设 A1 E = x ? BC + y ? PB 得 k k uuuu 1 uuu uuu r r r 2 2 2 2 1 (?1,1, ? ) = x ? (?2, ?2,
  0) + y ? (0, 2, ? ) 解得 x = , y = 1 , ∴ A1 E = BC + PB ……6 分 2 2 k k A1 (2, 0,
Q BC ∩ PB = B , A1 E ? 平面PBC
∴ A1 E ∥平面 PBC
uuu r uuu r
…8 分
uuu r
\_
(
  2)当 k = 2 时,由 P(0, 0,
  2) 、 A(2, 0,
  0) 得 PA = (2,0, ?
  2) 、 BC = (?2, ?2,
  0) 、 PB = (0, 2, ?
  2)
r uuu r r r ? n ? BC = 0 ?1+α = 0 ? ,得 ? , n = (1, ?1, ?
  1) …11 分 设平面 PBC 的法向量为 n = (1, α , β ) ,则由 ? r uuu r ?α ? β = 0 ? n ? PB = 0 ?
uuu r r uuu r r PA ? n 6 6 r sin ? PA, ? = uuu r = n ,∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 . ………14 分 3 3 | PA | ? | n |

  19. (本题 16 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中, 关于原点的伸压变换 Ti (i = 1, 2, 3,L) 对应的矩 阵为 ?
?λi ?0
0? x2 y2 ,其中 λi (λi >
  0) 称为伸压比.(
  1)若双曲线 C1 的方程为 ? = 1 ,伸压比 λi ? 9 4 ?
λ1 = 2 , 求 C1 在 “ 伸 压 变 换 T1 ” 作 用 后 所 得 双 曲 线 C 2 的 标 准 方 程 ; (
  2) 如 果 椭 圆
x2 y2 C
  1: + = 1 经“伸压变换 T2 ”后得到椭圆 C 2 ,且 C2 的焦距为 6,求伸压比 λ2 的值;(
  3) 16 4
对抛物线 C
  1:y 2 = 2 p1 x ,作变换 T1 ,得抛物线 C
  2:y 2 = 2 p 2 x ;对 C 2 作变换 T2 得抛物线
C
  3:y 2 = 2 p3 x , 如 此 进 行 下 去 , 对 抛 物 线 C n:y 2 = 2 p n x 作 变 换 Tn , 得 抛 物 线
1 C n+
  1:y 2 = 2 p n+1 x , .若 p1 = 1, λ n = ( ) n ,求数列 { pn } 的通项公式 p n . L 2
解:(
  1)设 P ( x, y ) 是 C2 上任一点, P ( x1 , y1 ) 是 C1 上与之对应的点,则 1
? x = ? 2 0 ? ? x1 ? ? x ? ? 1 ? ?0 2? ? y ? = ? y ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?y = ? 1 ?
(
  2)同样可得 C2 的方程为 (
  3) 对
x x2 y 2 2 ? ? = 1 ………………………4 分 y 36 16 2
x2 y2 3 + 2 = 1∴12c 2 = 9 ? λ = ………………………8 分 2 16λ 4λ 2
Cn x

y 2 = 2 pn x



Tn



线
C n+1

(
y
λn
) 2 = 2 pn(
λ
)? y 2 = 2 pn λn x ∴
pn +1 1 = λn = ( ) n ,………………………12 分 pn 2
p3 p n-1 pn p2 p4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ( n2?
  1) 所 以 ? ? ?L ? ? = ( ) ? ( ) ? ( ) ?L ? ( ) = ( ) , 又 p1 p2 p3 p n?2 p n ?1 2 2 2 2 2
1 n ( n2?
  1) p1 = 1,∴ pn = ( ) ………………………16 分 2

  20. (本题 14 分)曲线 C1 的极坐标方程是 ρ = cos θ , C2 的极坐标方程为 ρ = 1 + cos θ ,点 A 的 极坐标是 (2,
  0) .(
  1)求曲线 C1 上的动点 P 到点 A 距离的最大值; 绕点 A 旋转一周而形成图形的面积. 解: (
  1)方程 ρ = cos θ 表示圆心在 ( ,
  0) ,半径为 (
  2)求 C2 在它所在的平面内
1 2
1 的圆,所以曲线 C1 上的动点 P 到点 A 距离的 2
最大值为 2 ………4 分 (
  2)设 P ( ρ ,θ ) 是曲线 C 上的任意一点,则 | OP |= ρ = 1 + cos θ ,由余弦定理,得
| AP |2 =| OP |2 + | OA |2 ?2 | OP | ? | OA | cosθ = (1 + cosθ )2 + 2 2 ?4(1 + cos θ )cos θ =
16 1 ? 3(cos θ + )2 3 3
1 16 当 cosθ = ? 时, | AP | 有最大值为 ………10 分 3 3
将点 A(
  2,
  0)代入曲线 C 的极坐标方程,是满足的,知点 A 在曲线 C 上………12 分 所以曲线 C 在它所在的平面内绕点 A 旋转一周而形成的图形是以点 A 为圆心、 | AP |= 半径的圆,其面积为
16 为 3
16 π .………14 分 3

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