高二数学下册3月月考调研测试题



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月月考数学理科 理科试题 高二 3 月月考数学理科试题
答题时间:90 分钟 满分 100
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,请把答案写在答题纸上)
  1. f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x ) 满足 f ( x) = g ( x) ,则
' '
f ( x) 与 g ( x) 满足
A. f ( x) = g ( x) C. f ( x) = g ( x) = 0 B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) + g ( x) 为常数函数

  2. 已知函数 f ( x) 在 x = 1 处的导数为
  1,则
lim
x →0
f (1 ? x) ? f (1 + x) = 3x
2 1 3 A.3 B. ? C. D. ? 3 3 2 2
  3.设 P 为曲线 C : y = x + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? π? ?
  0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? 4? 1? ? ?1 ? , 1] A. ? ?
  1, ? B. [ ?1 0] C. [
  0, D. ? , ? 1 2? ? ?2 ? ?

  4.函数 y = cos 2 x在点( A. 4 x + 2 y + π = 0
3
π
4
,
  0) 处的切线方程是
C.4 x ? 2 y ? π = 0 C. (?3,+∞) D.4 x + 2 y ? π = 0 D. (?∞,?
  3)
B.4 x ? 2 y + π = 0

  5.若函数 f ( x ) = x + ax ? 2 在区间 (1,+∞) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是 A. (3,+∞) B. [ ?3,+∞)
  6.设函数 f ( x ) = sin(ωx + 条对称轴的方程是
π
6
) ? 1 (ω >
  0) 的导数 f ′( x) 的最大值为
  3,则 f ( x) 的图象的一
9 6 3 2 n +1 *
  7. 设 曲 线 y = x ( n ∈ N ) 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 xn , 则
A. x =
π
B. x =
π
C. x =
π
D. x =
π
x1 ? x2 ? L ? xn 的值为 1 A. n

  8. 给出以下命题:⑴若
B.
n n +1
C.
1 n +1
D. 1
2π 0

b a
f ( x)dx > 0 ,则 f ( x) > 0 ; ⑵ ∫
sin x dx = 4 ;⑶ f ( x) 的原
a +T T
函数为 F ( x ) ,且 F ( x ) 是以 T 为周期的函数,则

a 0
f ( x)dx = ∫
f ( x)dx ;其中正确命题
的个数为 A.0 B. 1 C.2 D.3
  9.若函数 y = f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数, 则函数 y = f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图 ... 象可能是 y y y y
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o
a
b x
o
a
b x
o
a
b x
o
a
b x
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A
b a
B
b a
C
b a
D

  10. 已知 b>a,下列值: ∫ f ( x)dx , ∫ | f ( x) | dx ,| ∫ f ( x)dx |的大小关系为 A.| ∫ f ( x)dx |≥ ∫ | f ( x) | dx ≥ ∫ f ( x)dx
a a a b b b
B. ∫ | f ( x) | dx ≥| ∫ f ( x)dx |≥ ∫ f ( x)dx
a a a
b
b
b
C. ∫ | f ( x) | dx = | ∫ f ( x)dx |= ∫ f ( x)dx
a a a
b
b
b
D. ∫ | f ( x) | dx = | ∫ f ( x)dx |≥ ∫ f ( x)dx
a a a
b
b
b

  11.设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y = f ( x) 在 x = 5 处的切线的斜 率为
1 D. 0 5
  12.已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c 的导数为 f ′( x) , f ′(
  0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f (
  1) f ( x) ≥ 0 ,则 的最小值为 f ′(
  0) 5 3 A. 3 B. C. 2 D. 2 2
A. ? B. 5 C. 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题纸上)
3
  13.函数 f ( x) = x ? 3ax + b(a >
  0) 的极大值为
  6,极小值为
  2,则 f ( x) 的减区间是
1 5


  14.已知 f (x ) 为一次函数,且 f ( x) = x + 2
  15. 若 f ( x) = e
  16.
?

1 0
f (t )dt ,则 f (x ) =.
.
1 x
,则 lim
t →0
f (1 ? 2t ) ? f (
  1) = t


2
1
1 dx = x + 2x
2
月月考数学试题答题纸 理科) 答题纸( 高二 3 月月考数学试题答题纸(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分; 题号 答案 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分;把正确的答案写在横线上。
  13.
  14.
  15.
  16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
三.解答题(本大题共 5 个小题,共 48 分.要求写出必要的演算过程和推理步骤)
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  17.(本小题满分 8 分)设 f ( x ) = x ?
3
1 2 x ? 2x + 5 2
(
  1)求函数 f (x ) 的单调区间与极值; (
  2)当 x ∈ [?1,2] 时, f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

  18. (本小题满分 10 分)设 a 为实数,函数 f ( x ) = e ? 2 x + 2a, x ∈ R .
x

  1) f ( x ) 的单调区间与极值; (
  2) 求 求证: a > ln 2 ? 1 且 x > 0 时,e > x ? 2ax + 1 . 当
x 2
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  19.(本小题满分 10 分)已知函数 f (x) = ln x ( x ≠
  0) ,函数 g ( x) = ⑴当 x ≠ 0 时,求函数 y = g ( x) 的表达式; ⑵若 a > 0 ,函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y =
1 + af ′( x )( x ≠
  0) f ′( x )
2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6

  20. (本小题满分 10 分) 某分公司经销一种产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向 总公司交 a (3 ≤ a ≤
  5) 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x (9 ≤ x ≤
  11) 元时,一年的销 售量为 (12 ? x) 2 万件. (
  1) 求分公司一年的利润 y (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (
  2) 当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 y 最大?并求出 y 的最大值 Q ( a ) .
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  21.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) = x ,函数 g ( x ) = λf ( x ) + sin x 是区间 [?1,1] 上的 减函数. (
  1)求 λ 的最大值; (
  2)若 g ( x) < t 2 + λt + 1在x ∈ [ ?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围; (
  3)讨论关于 x 的方程
ln x = x 2 ? 2ex + m 的根的个数. f ( x)
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参考答案 一.BBADB ACCBB DC 二.
  13. (?1,
  1);
2 1 3 ;
  16. ln . e 2 2 2 三.
  17.(
  1) f ′( x) = 3 x ? x ? 2 = (3 x +
  2)( x ?
  1) 2 令 f ′( x) > 0 得 f (x) 的增区间为 ( ?∞,? ), (1,+∞) 3 2 令 f ′( x) < 0 得 f (x) 的减区间为 (? ,
  1) . 3 2 157 7 当 x = ? 时, f ( x ) 取极大值 ;当 x = 1 时 f ( x ) 取极小值 . 3 27 2

  14. f ( x ) = x ? 1 ;
  15. ? (
  2)即求 f (x ) 的最大值.令 f ′( x ) = 0 得 x = ?
2 或1 3
11 ? ? f (?
  1) = 2 ? ? f (? 2 ) = 157 ? ∴m > 7 3 27 ? ? 7 ? f (
  1) = 2 ? ? f (
  2) = 7 ?
  18. 解析:(
  1) f ( x ) 在 (?∞, ln
  2) 上减,在 (ln 2,+∞ ) 上增; 当 x = ln 2 时, f ( x ) 取极小值 2 ? 2 ln 2 + 2a (
  2) a > ln 2 ? 1 时, f ( x ) 的极小值也是最小值 2 ? 2 ln 2 + 2a > 0 ∴ f ( x ) > 0 g ( x) = e x ? x 2 + 2ax ? 1 , g ′( x) = e x ? 2 x + 2a = f ( x) > 0 ∴ g ( x) 增. x > 0时, g ( x) > g (
  0) = 0 即 e x ? x 2 + 2ax ? 1 > 0 即 e x > x 2 ? 2ax + 1 a
  19. 解析:(
  1) g ( x ) = x + (
  2) a = 1 x 2 2 3 7 1 7 3 (
  3)交点横坐标 x1 = , x 2 = 2 S = ∫3 ( x + ? x ? )dx = + ln 2 6 x 24 4 2 3
2
  20.解(
  1) y = ( x ? 3 ? a )(12 ? x ) (9 ≤ x ≤
  11)
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2 a , x = 12 (舍) 3 2 28 Q 3 ≤ a ≤ 5 ∴8 ≤ 6 + a ≤ 3 3 2 9 当 6 + a ≤ 9 且 3 ≤ a ≤ 5 即 3 ≤ a ≤ 时, y ′ < 0 , y 在 [9,11] 上为减函数, 3 2 ∴ x = 9 时, y max = Q(a ) = 54 ? 9a 2 9 2 2 当 6 + a > 9 且 3 ≤ a ≤ 5 即 < a ≤ 5 时, y 在 [9,6 + a ] 为增,在 6 + a,11] 为减 3 2 3 3 2 a ∴ x = 6 + a 时, y max = Q(a ) = 4(3 ? ) 3 3 3 9 ? ?54 ? 9a (3 ≤ a ≤ 2 ) ? ∴ Q(a) = ? ?4(3 ? a ) 3 ( 9 < a ≤
  5) ? 3 2 ?
  21.解: (
  1) f ( x) = x,∴ g ( x) = λx + sin x , Q g ( x)在[?1,1] 上单调递减, ∴ g ' ( x) = λ + cos x ≤ 0 ∴ λ ≤ ? cos x 在[-
  1,1]上恒成立,∴ λ ≤ ?1 ,故 λ 的最大值为 ?
  1. (
  2)由题意 [ g ( x)] max = g ( ?
  1) = ?λ ? sin 1,
(
  2)令 y ′ = 0 得 x = 6 +
∴ 只需 ? λ ? sin 1 < t 2 + λt + 1, ∴ (t +
  1)λ + t 2 + sin 1 + 1 > 0 (其中 λ ≤ ?1 ) ,恒成立,
令 h(λ ) = (t +
  1)λ + t 2 + sin 1 + 1 > 0(λ ≤ ?
  1) ,
??t ? 1 + t + sin1 + 1 > 0 ?t < ?1 ∴? 2 , 而t 2 ? t + sin 1 > 0 恒成立, ?t ? t + sin 1 > 0 ∴t < ?1 ln x ln x (
  3)由 = = x 2 ? 2ex + m. f ( x) x ln x 令 f1 ( x) = , f 2 ( x) = x 2 ? 2ex + m, x 1 ? ln x Q f1' ( x) = , x2 当 x ∈ (0, e)时, f 1' ( x) ≥ 0, ∴ f1 ( x)在(0, e] 上为增函数; 当 x ∈ [e,+∞ ) 时, f 1' ( x) ≤ 0, ∴ f1 ( x)在[e,+∞ ) 为减函数; 1 当 x = e时, [ f 1 ( x)] max = f 1 (e) = , 而 f 2 ( x) = ( x ? e) 2 + m ? e 2 , e 1 1 ∴当m ? e 2 > , 即m > e 2 + 时, 方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e = , 即m = e + 时,方程有一个根; e e
2
则?
?t + 1 < 0

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当m ?e <
2
1 1 时, m < e 2 + 时,方程有两个根. e e
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