初中数学函数知识点汇总



莆 田 二 中
中考数学二次函数知识点 20 年中考真题考点知识点记忆口诀 收集整理了 1990 年-2010 年 20 年 中考数学试题真题与模拟题, 穷尽一切二次函数知识点与考点, 仔细体会下每一知识点与考点之真实意图 理解记忆,记忆中理解

  1.定义:一般地,如果 y = ax 2 + bx + c( a, b, c 是常数, a ≠
  0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数.
2
  2.二次函数 y = ax 的性质

  1)抛物线 y = ax 2 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴. (
  2)函数 y = ax 2 的图像与 a 的符号关系. ①当 a > 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点; ②当 a < 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点. (
  3)顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y = ax 2 a ≠
  0) ( .
  3.二次函数
2 y =ax +bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2

  4. 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 用 配 方 法 可 化 成 : y = a ( x ? h ) + k 的 形 式 , 其 中
b 4ac ? b 2 . h = ? ,k = 2a 4a

  5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:① y = ax 2 ;② y = ax 2 + k ;③ y = a ( x ? h ) ;④
2
y = a ( x ? h ) + k ;⑤ y = ax 2 + bx + c .
2

  6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a > 0 时,开口向上;当 a < 0 时,开口向下;
a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
1
莆 田 二 中 ②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x = h .特别地, y 轴记作直线 x = 0 .
  7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置不同.
b ? 4ac ? b 2 ?
  8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(
  1)公式法: y = ax + bx + c = a? x + ,∴顶点是 ? + 2a ? 4a ?
2 2
(?
b 4ac ? b 2 b , ) ,对称轴是直线 x = ? . 2a 4a 2a
2

  2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y = a ( x ? h ) + k 的形式,得到顶点为( h , k ), 对称轴是直线 x = h . (
  3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分 线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
  9.抛物线 y = ax 2 + bx + c 中, a, b, c 的作用 (
  1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y = ax 2 中的 a 完全一样. (
  2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线
x=?

b b ,故:① b = 0 时,对称轴为 y 轴;② > 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; 2a a
b < 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a

  3) c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置. 当 x = 0 时, y = c ,∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点(
  0, c ) : ① c = 0 ,抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则
b <
  0. a
2
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  10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,
  0) (0, k ) ( h ,
  0) (h,k )
y = ax 2
y = ax 2 + k
x = 0 ( y 轴)
x = 0 ( y 轴)
2
y = a(x ? h )
当a > 0时 开口向上 当a < 0时 开口向下
x=h x=h
y = a(x ? h ) + k
2
y = ax + bx + c
2
x=?
b 2a
b 4ac ? b 2 , ) (? 2a 4a

  11.用待定系数法求二次函数的解析式 (
  1)一般式: y = ax + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

  2)顶点式: y = a ( x ? h ) + k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

  3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) .
  12.直线与抛物线的交点 (
  1) y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ). (
  2)与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h , ah (
  3)抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程
2
+ bh + c ).
ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定: ①有两个交点 ? ? > 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? = 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? < 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (
  4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同(
  3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为 k ,则横坐标是 ax + bx + c = k 的两个实数根.
2 2 (
  5)一次函数 y = kx + n(k ≠
  0) 的图像 l 与二次函数 y = ax + bx + c (a ≠ 0 ) 的图像 G 的交点,由方
3
莆 田 二 中 程组
y = kx + n y = ax 2 + bx + c
的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②
方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点. (
  6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴两交点为 A( x
  1,),B( x
  2,) , 0 0
2
由于 x1 、 x 2 是方程 ax + bx + c = 0 的两个根,故
2
x1 + x2 = ?
b c , x1 ? x2 = a a
AB = x1 ? x2 =
(x1 ? x2 )
2
=
(x1 + x2 )
2
b 2 ? 4ac ? ? b ? 4c ? 4 x1 x2 = ? ? ? ? = = a a a ? a?
2
一次函数与反比例函数
考点一、 考点一、平面直角坐标系
  1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方 向;两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一 象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。
  2、点的坐标的概念 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“, ”分开,横、纵坐标的位 置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当 a ≠ b 时, (a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 考点二、 考点二、不同位置的点的坐标的特征
  1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ? x > 0, y > 0 点 P(x,y)在第二象限 ? x < 0, y > 0 点 P(x,y)在第三象限 ? x < 0, y < 0 点 P(x,y)在第四象限 ? x > 0, y < 0
  2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y = 0 ,x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x = 0 ,y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 ? x,y 同时为零,即点 P 坐标为(
  0,
  0)
  3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
4
(3 分)
( 3 分)
莆 田 二 中 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ? x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数
  4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
  5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等,横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数
  6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (
  1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y (
  2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x (
  3)点 P(x,y)到原点的距离等于 x + y
2 2
考点三、 考点三、函数及其相关概念
  1、变量与常量
(3~8 分)
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对 应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数。
  2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
  3、函数的三种表示法及其优缺点 (
  1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法 叫做解析法。 (
  2)列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (
  3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
  4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (
  1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (
  2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (
  3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、 考点四、正比例函数和一次函数 (3~10 分)
  1、正比例函数和一次函数的概念 ,那么 y 叫做 x 的一次函数。 一般地,如果 y = kx + b (k,b 是常数,k ≠
  0) 。这时,y 叫做 x 的正比 特别地,当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0 时, y = kx (k 为常数,k ≠
  0) 例函数。
5
莆 田 二 中
  2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
  3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数 y = kx + b 的图像是经过点(
  0,b)的直线; 正比例函数 y = kx 的图像是经过原点(
  0,
  0)的直线。 k 的符号 b 的符号 函数图像 y 图像特征
b>0
0
x
图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大。
k>0
y
b<0
0
x
图像经过一、三、四象限,y 随 x 的增大而增大。
y
b>0 0 x
图像经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小
K<0 y
b<0 0 x
图像经过二、三、四象限,y 随 x 的增大而减小。
注:当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
6
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  4、正比例函数的性质, ,一般地,正比例函数 y = kx 有下列性质: (
  1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (
  2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小。
  5、一次函数的性质, ,一般地,一次函数 y = kx + b 有下列性质: (
  1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大 (
  2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小
  6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y = kx (k ≠
  0)中的常数 k。确定一个一次函 中的常数 k 和 b。 解这类问题的一般方法是待定系数法。 数, 需要确定一次函数定义式 y = kx + b (k ≠
  0) 考点五、 考点五、反比例函数 (3~10 分)
  1、反比例函数的概念
k (k 是常数,k ≠
  0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y = kx ?1 x 的形式。自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
一般地,函数 y =
  2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限, 它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x ≠
  0,函数 y ≠
  0,所以,它的图像与 x 轴、y 轴都没有交 点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
  3、反比例函数的性质 反比例 函数 k 的符号 y k>0 y
y=
k ( k ≠
  0) x
k<0
图像
O
x
O
x
性质
①x 的取值范围是 x ≠
  0, y 的取值范围是 y ≠
  0; ②当 k>0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。
①x 的取值范围是 x ≠
  0, y 的取值范围是 y ≠
  0; ②当 k<0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。

  4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y =
k 中,只有一个待定系数,因此只需要 x
一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。
7
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  5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k (k ≠
  0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,则所得的矩形 x k PMON 的面积 S=PM ? PN= y ? x = xy 。 Q y = ,∴ xy = k , S = k 。 x
如下图,过反比例函数 y =
二次函数
考点一、二次函数的概念和图像 考点一、二次函数的概念和图像
  1、二次函数的概念
2
(3~8

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