初中数学



(一)代 数
1> 实数的分类

  1. 自然数:表示物体个数的
  1、
  2、
  3、4???等都称为自然数
  2. 质数和合数:一个大于 1 的整数,如果除了它本身和 1 以外不能被其它正整数所整 除,那么这个数称为质数。一个大于 1 的数,如果除了它本身和 1 以外还能被其它 正整数所整除,那么这个数知名人士为合数,1 既不是质数又不是合数。
  3. 相反数:只有符号不同的两个实数,其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是 零。 一个正数的绝对值是它本身, 一个负数绝对值是它的相反数, 零的绝对值为零。
  4. 倒数:1 除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。 2> 实数的运算
  1. 完全平方数:如果一个有理数 a 的平方等于有理数 b,那么这个有理数 b 叫做完全 平方数。
  2. 方根: 如果一个数的 n 次方 是大于 1 的整数) (n 等于 a, 这个数叫做 a 的 n 次方根。
  3. 开方:求一数的方根的运算叫做开方。
  4. 算术根:正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根,零的算术根是零,负数没有 算术根。 3> 代数式的性质

  1. 代数式:用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母 连结所得的式子,叫做代数式。
  2. 代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫做当这个字母取 这个数值时的代数式的值。
  3. 有理式:只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式
  4. 无理式:根号下含有字母的代数式叫做无理式
  5. 整式:没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式
  6. 分式:除式中含字母的有理式叫分式 4> 代数式运算
  1. 加法交换律:a+b=b+a
  2. 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
  3. 乘法交换律:ab=ba
  4. 乘法对加法的分配率:a(b+c)=ab+ac

  5. 等式性质:
若a = b,则a + c = b + c, ac = bc 若a = b, c ≠ 0,

  6. 不等式性质 |a+b|≤|a|+|b|, |a-b|≤|a|+|b| ,|a|≤b<=>-b≤a≤b ,|a-b|≥|a|-|b| ,-|a|≤a≤|a|
  7. 乘法公式:
a b = c c
平方差公式:a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) 立方和差公式:a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) 完全平方公式 : (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 提取公因式:ma + mb ? mc = m(a + b ? c

  8. 因式分解 十字相乘法: x 2 + ( a + b) x + ab = ( x + a )( x + b) 求根公式法:
ax 2 + bx + c = ( x + x1 )( x + x2 ) ?b ± b 2 ? 4ac x1,2 = 2a
5> 方程
  1. 方程的性质 方程:含有未知数的等式叫做方程。 方程的解: 在未知数允许值范围内, 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 在指定范围内求出方程所有解,或者确定方程无解的过程,叫做解方程。
  2. 一元一次方程 一元一次方程: 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次 标准式: ax + b = 0(a ≠
  0)
  3. 一元二次方程
一元二次方程:ax 2 + bx + c = 0(a ≠
  0) ?b ± b 2 ? 4ac 2 (b ? 4ac ≥
  0) 2a 根的判别公式:? = b 2 ? 4ac 求根公式:x = ? >
  0,方程有两个不相等的实数解 ? =
  0,方程有两个相等的实数解 ? <
  0,方程没有实数解 b c 设x1 , x2为方程的根,则x1 + x2 = ? , x1 x2 = a a
(二)几 何
1> 直线与角 过两点有且只有一条直线 两点之间线段最短 同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 同位角相等,两直线平行 内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 两直线平行,同位角相等 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 2> 三角形 定理 三角形两边的和大于第三边 推论 三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形的对应边、对应角相等 角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边) 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对 称轴上 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条 直线对称 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a 2 + b 2 = c 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c,有 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形是 直角三角形 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
3> 四边形 定理 四边形的内角和等于 360° 四边形的外角和等于 360° 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-
  2)×180° 推论 任意多边的外角和等于 360°
平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S =
ab 2
菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一 组对角 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形 4> 平行线的性质 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线 上截得的线段也相等 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h (
  1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d (
  2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d (
  3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠
  0),那么(a+c+…+m)/ (b+d+…+n)=a/b
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比 例 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么 这条直线平行于三角形的第三边 平行于三角形的一边, 并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形 三边对应成比例 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 5> 圆 圆是定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 同圆或等圆的半径相等 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心 距相等 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量 相等那么它们所对应的其余各组量都相等 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 ①直线 L 和⊙O 相交 d<r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O

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