2011年上海市高中数学竞赛试题



2011 年上海市高中数学竞赛
2011 年 3 月 27 日 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)
  1.方程组 ? 上午
  8:30??
  10:30
? y x + 7 x +12 = 1 ? 的解集为 ? x + y =1 ?
2
.

  2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P、Q 的坐标分别为(0,
  1)、(1,
  2),则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 .
x2 y2
  3.已知 M 是椭圆 + =1 在第一象限弧上的一点,MN⊥y 轴,垂足为 N,当△OMN 的面积 16 9 最大时,它的内切圆的半径 r=
  4.已知△ABC 外接圆半径为
  1,角 A、B、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于 A
  1、B
  1、C
  1, A B C AA1cos +BB1cos +CC1cos 2 2 2 的值为 则 sinA+sinB+sinC
3
. .
其中 a、 为实常数, f(lg
  5)=
  5, f(lg
  20)的值为 b 若 则
  5.设 f(x)=asin[(x+
  1) π]+b x-1+
  2,

  6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A(
  3,a),B(
  3,b)使∠AOB=45°,其中 a、b 均 为整数,且 a > b ,则满足条件的数对(a,b)共有 组.

  7.已知圆 C 的方程为 x2+y
  2-4x-2y+1=0 (圆心为 C) 直线 y=(tan10°)x+ 2与圆 C 交于 A、 , B 两点,则直线 AC,BC 倾斜角之和为 .

  8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最 1 后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为 ,则甲最后获胜的概率是 2 二、解答题:
  9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a、b,min{a,b}表示 a、b 中较小的数,求所有非零实 4 1 数 x,使 min{x+ ,4}≥8?min{x, }. x x .

  10. (本题满分为 14 分)如图,在△ABC,Q 为 BC 中点,点 M,N 分别在边 AB,AC 上, 且 AM=
  6,MB=
  4,AN=
  4,NC=
  3,∠MQN=90°.求∠A 的大小. A
M
N
B
Q
C

  11. (本题满分为 16 分)对整数 k,定义集合 Sk={n|50k≤n≤50(k+
  1),n∈Z},问 S
  0,S
  1, S
  2,……,S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

  12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n,使得对任意正实数 x
  1,x
  2,…,xn,都 有不等式 (x1+x2+…+xn)2≥n(x1x2 +x2x3+…+xn-1xn+xnx
  1).

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