2011年全国初中数学联赛八年级试卷



2011 年全国初中数学联赛八年级试卷答案及评分细则 年全国初中数学联赛八年级试卷答案及评分细则 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 选择题( 个小题,每小题均给出四个选项,其中只有一个正确选项, 本大题共 8 个小题,每小题均给出四个选项,其中只有一个正确选项,请将正确选项 的代号填在下表的指定位置 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 正确选项 C A B D C B D B
  1.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了 10\%,第三天较第二天增加了 10\%, .杯子中有大半杯水, , , 那么第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是: 那么第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是: B.多了 C.少了 D.多了或少了的可能性都有 A.一样多 . . . .
  2.轮胎往返于两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河 .轮胎往返于两码头之间, 果船本身在静水中的速度是固定的,那么, 的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将: 的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将: A.增多 B.减少 C.不变 D.增多或减少都有可能 . . . .
  3.如图, S△ABC = 1 且 S △ BDE = S △ DEC = S △ACE ,则 S △ A D E 等于 .如图,
E A
A. .
1 5
B. .
1 6
C
1 7
D. 1 .
8
B
D
C
道小题,
  4.有一份选择题试卷共 6 道小题,一道小题答对得 8 分,答错得 0 分,不答得 2 分, . 那么他答卷情况是: 某同学共得了 20 分,那么他答卷情况是: A.至多答对 1 题 B.至少答对 3 题 C.至少有 3 题没答 D.答错 2 题 . . . . 2 2 2
  5.若三个正整数 a、b、c 的和为奇数,那么代数式 a + b ? c + 2ab 的值( 的值( ) . 、 、 的和为奇数, A.一定是非零偶数 B.一定是 0 . . D.可能是奇数,也可能是偶数 C.一定是奇数 . .可能是奇数,
  6.∴ABC 中,若 AB=π,BC=1+ 2 ,CA= 7 ,则下列式子中能成立的是( . 则下列式子中能成立的是( , )
A.∠A>∠C>∠B . B.∠C>∠B>∠AC.∠B>∠A>∠C > > . > > . > > D.∠C>∠A>∠B . > > 的正方形分割成面积相等的四部分,
  7.把一个边长为 1 的正方形分割成面积相等的四部分,使得在其中的一部分内存在 . 三个点, 的正三角形, 三个点,以这三个点为顶点可以组成一个边长大于 1 的正三角形,满足上述性质的 分法( ) 分法( A.是不存在的 B.恰有一种 C.存在有限多种,但不只一种 D.有无数种 . . .存在有限多种, .
  8.若 ( x + a )( x + b) + ( x + b)( x + c) ? ( x + c)( x + a ) 是完全平方式,则 a、b、c 的大小关系可以 . 是完全平方式, 、 、 写成( 写成( A.a<b<c . < < ) B. (a ? b) 2 + (b ? c) 2 = 0 C.c<a<b . . < < D.a≠b≠c . ≠
二、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 填空题( 小题, 本大题共 8 小题,请将每小题的答案直接填在题中的横线上 2
  9.已知 3x + 4 x ? 7 = 0 ,则 6 x 4 + 11x 3 ? 7 x 2 ? 3x ? 7 = 0 . .
  10.已知 a、b、c 满足 a+b+c=
  0,abc=
  8,则 a 3 + b 3 + c 3 = . 、 、 , ,
  11.在∴ABC 中,∠B=60°,∠BCA=20°,∠DAC=20°, . , , , ∠BCA 的平分线交 AB 于 E,连 DE,则∠BDE= 20° . , ,
B
24
A E

D
C
1

  12.∴ABC 中,∠B=30°,AB= 5 ,BC= 3 ,三个两两外切的圆全在三角形内部, . 三个两两外切的圆全在三角形内部, , 这三个圆的面积之和的最大值的整数部分是
  13.若 a ? 1 + ( ab ?
  2) 2 = 0 ,那么 .
1 1 1 的值是 + + ??? + 2012 a ( a +
  1)(b +
  1) (a + 20
  10)(b + 20
  10)
0
S1 S2
3017

S3

  14.若关于 x 的方程 | x ? 1 | ?2 = a 只有三个不同的整 . 数解, 数解,则 a 的值为 2
  15. 图中有四个面积相同的圆,每个圆的面积都记为 S,∠ABC 的两边分别经过圆 . 图中有四个面积相同的圆, , ,∠ 心、 O1 O2 、 O3 和 O4 ,四个圆盖的面积为
  5(S-
  1) ∠ABC 内部被圆盖住的面积为
  8, ( ) , ,
81 1 1 阴影部分的面积为 S1 、 S2 、 S3 满足关系式: S3 = S1 = S2 .则 S= . 满足关系式: 19 3 3

  16.非等边锐角三角形 ABC 的三边长 BC = a,CA = b,AB = c.a、b、c 均为整数, .非等边锐角三角形 , , . 、 、 均为整数, 且满足如下条件: b a、 且满足如下条件: 、 的最大公约数为
  2, + b + c = , a
6ab 则∴ABC a+b
的周长为
35

三、解答题(每题 20 分,共 40 分) 解答题( 个小题, 本大题有 2 个小题,要有科学简洁的表述过程
  17. A,B,C 三支球队进行足球循环比赛,第一阶段的比赛情况有些记录见下表: . , , 三支球队进行足球循环比赛,第一阶段的比赛情况有些记录见下表: 球队名 比赛场次 胜场 平场 负场 进球数 失球数 A 2 2 1 B 2 1 2 4 C 2 3 7 (
  2) 的进球数之比 球数之比; (
  1)请完成上表; )求 A,B 两支球队比赛时,A 队的进球水与 B 的进球数之比; )请完成上表; ( , 两支球队比赛时, 队的进球数之比; , (
  3)求 B,C 两支球队比赛时,B 队的进球数与 C 队的进球数之比;A,C 两支球 ) , 两支球队比赛时, 队比赛时, 队的进球数之比; 队比赛时,A 队的进球数与 C 队的进球数之比; (
  4)设计一种表格,反映第一阶段 A,B,C 三支球队的比分,并排出相应的名次. )设计一种表格, , , 三支球队的比分,并排出相应的名次. 球队名 比赛场次 胜场 平场 负场 进球数 失球数 A 2 2 0 0 7 1 B 2 0 1 1 2 4 C 2 0 1 1 3 7 (
  2)设 A,B 两队比赛时,A 队进球数为 x 个,B 队进球数为 y 个;则 A,C 两队 ) , 两队比赛时, , 比赛时, 队进球数为( ) 比赛时,C 队进球数为(1-y)个; B,C 两队比赛时,C 队进球数为(4-x)个;则 1-y+4-x=
  3.∴x+y=
  2.因为 A,B 两 , 两队比赛时, 队进球数为( ) . . , 队比赛时, 队胜, 队比赛时,A 队胜,所以 x>y, , 又 x,y 均为非负数整数,因此 x=
  2,y=
  0.∴x:y=
  2:
  0. , 均为非负数整数, , . : : . (
  3)可以用第(
  2)问来解决问题,但下面的想法更简洁,C 队的进球数分两种: )可以用第( )问来解决问题,但下面的想法更简洁, 队的进球数分两种: 1-y=1,4-,x=
  2, , 队的进球数分两种: , 队的进球数分两种: , B 队的进球数分两种:y=
  0, y ' = 2 .A 队的进球数分两种:x=
  2, x ' = 5 两种
2
比比 客主 主主
队比赛时, ∴B,C 两队比赛时, B队的进球数 = 2 A,C 两队比赛时, , 两队比赛时, ,
C队的进球数 2
A队的进球数 5 = = 5 :1 C队的进球数 1

  4)说明:主队进球数:客队进球数评分说明:每小题 5 分,共 20 分. )说明:主队进球数:客队进球数评分说明:
  18. )如图(
  1) 是正方形 ABCD 的 BC 边上的中点,AP⊥PQ,且 PQ 交∠DCB (
  1) ,P 边上的中点, ⊥ , . ( 如图( ) , 的外角平分线于 Q.求证:AP=PQ .求证: 边所在直线上的任一点, ⊥ , (
  2)P 是正方形 ABCD 的 BC 边所在直线上的任一点,AP⊥PQ,且 PQ 交∠DCB ) (
  1)中的结论是否成立?试证之. 的外角平分线所在直线于 Q. )中的结论是否成立?试证之. . (
M
M
M
M
3
证明: (
  1)如图( ) ,在 证明: )如图(
  1) 在 AB 边上取中点 M,连 ( , , PPB=BM ? ∠BMP=45° ? ∠AMP=∠PCB=135°……………………………………2 分 ∠ 又∠MAP=∠CPQ…………………………………………4 分 ∠ AM=PC∴∴AMP≌∴PCQ………………………………………6 分 ∴ ≌ ∴AP=PQ…………………………………………………7 分 边上,如图( ) 则类似( ) ,则类似 (
  2)1°若 P 点在 BC 边上,如图(
  2) 则类似(
  1)可证得 ) 若 , AP=PQ………………………………………………8 分 2°若 P 点在 BC 延长线上,如图(
  3) 结论仍然成立 延长线上,如图( ) ,结论仍然成立 若 , 证明如下: 证明如下:延长 BA 到 M,使 AM=PC,则 MB=MP , , ∴∠M=∠QCP=45°…………………………………10 分 ∠ 又∠CPA=∠PAD ? ∠MAP=CPQ……………12 分 ∠ ∴∴MAP≌∴CPQ∴AP=PQ………………………………………14 分 ≌ ∴ 3°若 P 点在 CB 延长线上,如图(
  4)结论仍然成立 延长线上,如图( ) 若 证明如下: 证明如下:延长 AB 到 M,使 BM=PB,连 PM.则 , , . ∠M=∠PCQ=45°…………………………………16 分 ∠ ∠PAM=∠QPCAM=PC………………………………………………18 分 ∠ ∴∴APM≌∴PQC 所以 AP=PQ………………………………………………20 分 ≌
4

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