2011福建宁德质检数学文试题含答案



2011 年宁德市普通高中毕业班质量检查
数学(文科)试卷
参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差
s=
1? 2 2 2 ( x1 ? x ) + ( x2 ? x ) + L + ( xn ? x ) ? ? n?
锥体体积公式
1 V = Sh 3
其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V = Sh
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S = 4πR 2 , V =
4 3 πR 3
其中 S 为底面面积, h 为高
其中 R 为球的半径
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:
  1. 复数 z = i(1 + i) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
  2. 已知集合 A = {2,3} , B = {0,1, 2} ,若 x ∈ A 且 x ? B ,则 x 的值为 A.0
0
B.1
C.2
D. 3

  3. “ α = 60 ”是“ tan α = 3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
a4 ? a3 的值等于 a2 ? a1

  4. 若各项均不为零的数列 {an } 满足 an +1 = 2an (n ∈ N * ) ,则 A.4
π
6
B.8
π
C.16
π
D.64
2π 3

  5. 已知 a , b 均为单位向量,若 a ? b = 1 ,则 a , b 的夹角等于
2 3 2
  6. 函数 f ( x ) = ln x ? 的零点一定位于区间 x A. (1,
  2) B. (2,
  3) C. (3,
  4)
A.
B.
C.
D.
D. (4,
  5)
π
  7.已知函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0 ,ω > 0 , ? |< ) 的图象 |
2
如图
所示,则其表达式为
π A. y = 3sin(4 x ? )
3
π B. y = 3sin(4 x + )
3
π C. y = 3sin(2 x ? )
3
π D. y = 3sin(2 x + )
3

  8.已知向量 a = ( x,
  1) , b = ( x, tx +
  2) . 若函数 f ( x) = a ? b 在区间 [?1,1] 上不是单调函数, .. 则实数 t 的取值范围是 A. (?∞, ?2] U [2, +∞) B. (?∞, ?
  2) U (2, +∞) C. (?2,
  2) D. [?2, 2]

  9.已知 α , β 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线. 若 m ? β , n ? β ,则下列命题为真命题的是 A.若 m ⊥ α , m ⊥ n ,则 n // α C.若 m ? α , n // α , 则 m // n B.若 m // α , n // α , 则 α // β D.若 α ⊥ β , n ⊥ α ,则 m ⊥ α

  10.若不等式 x 2 ? 2ax ? b 2 + 4 ≤ 0 恰有一个解,则 ab 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

  11.已知点 F , A 分别为双曲线 C : 则双曲线的离心率为 A.
1+ 5 2
x2 y2 ? = 1 (a > 0, b >
  0) 的左焦点、右顶点,点 B(0, b) 满足 FB ⊥ AB , a 2 b2
B.
3 +1
C.
?1 + 5 2
D.
3 ?1

  12.已知函数 f ( x) = 4 x x ? 1 . 给出如下结论: ① f ( x ) 是 R 上的单调递增函数; ②对于任意 x ∈ R , f ( x) + f (? x) = ?2 恒成立; ③函数 y = f ( x ) ? 2 x + 1 恰有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 + x2 + x3 = 0 . 其中正确结论的个数为 A.0 B.1
C.2
D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置.
  13.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图,侧视图 均为矩形,俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的 侧面积为 . 1 正视图 2 2

  14.某校在科技节活动中开展科普知识竞赛,每个代表队 由 7 个人组成,竞赛采用百分制,成绩均为整数.已 知某代表队各选手成绩组成的数据中,众数为 85 ,中 位数为 86 ,最小数为 82 ,最大数为 89 ,则该代表队 的平均分为 . 1 俯视图 1 正视图

  15.已知圆 C 的圆心与点 M (1,
  2) 关于直线 y = x 对称,并且 圆 C 与直线 x ? y + 1 = 0 相切,则圆 C 的方程为.
  16.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M = [a, b] ,使得 { y y = f ( x), x ∈ M } = M ,则称区间 M 为 函数 f ( x) 的一个“稳定区间”.给出下列 3 个函数: ① f ( x) = x 3 ; ② f ( x) = e x ; ① f ( x) = cos
π
2
x.
其中存在“稳定区间”的函数有 ____(填上所有正确的序号) .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
  17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn = 2n + c . (Ⅰ)求 c 的值并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn = Sn + 2n + 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

  18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 sin(2 x ? ) + 2 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及其取得最大值时 x 的集合; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a = 求 ?ABC 的面积.
3 π 5π , A = ,b = f ( ) , 4 3 12
π 4

  19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且 AE ⊥ AB , AE = AB = 4 , AD = 2 , F ,G,H 分别为
BE,AE,BC 的中点.
(Ⅰ) 求三棱锥 A ? FGH 的体积; (Ⅱ)求证:直线 DE 与平面 FGH 平行.
D
C H
A G E F
B

  20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :
x2 y2 1 + = 1(a > b >
  0) 的右焦点为 F ,离心率为 ,直线 l : 2 x + y ? 2a = 0 与 x, y 轴分别交 2 a 2 b2
于点 A, B, O 为坐标原点. (Ⅰ)若椭圆 E 的短半轴长为 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 截椭圆 E 所得弦的中点为 M ,证明: ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值.

  21. (本小题满分 12 分) 某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、 季军的代表队人数情况如右表.大会组委 会为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在 颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样 的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐,其中亚军队有 5 人. (Ⅰ)求季军队的男运动员人数; (Ⅱ)从前排就坐的亚军队 5 人(3 男 2 女)中随机抽取 2 人上台领奖,请列出所有的基本事件,并求
亚军队中有女生上台领奖的概率; (Ⅲ)抽奖活动中,运动员通过操作按键,使电脑自动产生 [0, 4] 内的两个随机数 x , y , 随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序. 若电脑显示“中奖”,则该运动员获 相应奖品,若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求该运动员获得奖品的概率. 开始 输入 x, y
4x ? y ? 8 ≤ 0
是 输出 “中奖”

输出 “谢谢”
结束

  22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d (b ≠
  0) 在
x = 0 处取到极值
  2.
(Ⅰ)求 c, d 的值; (Ⅱ)试研究曲线 y = f ( x ) 的所有切线与直线 x ? by + 1 = 0 垂直的条数; (Ⅲ)若对任意 x ∈ [1, 2] ,均存在 t ∈ (0,1] ,使得 et ? ln t ? 1 ≤ f ( x ) ,试求 b 的取值范围.
2011 年宁德市高三质量检查
数学( 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部 分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给 分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 选择题:本题考查基础知识和基本运算 知识和基本运算, 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分.
  1. B
  2. D
  3.A
  4. C
  5. B
  6. B
  7.D
  8.C
  9. C
  10.B
  11. A
  12. D 填空题:本题考查基础知识和基本运算, 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分.
  13. 4 + 2 2
  14. 86
  15. ( x ?
  2)2 + ( y ?
  1) 2 = 2
  16. ①①
小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 解答题: 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤.
  17. 本题主要考查等差数列、 主要考查等差数列、 等比数列、 数列求和等基 等基础 考查化归与转化思想. 等比数列、 数列求和等基础知识; 查运算求解能力, 考 运算求解能力, 考查化归与转化思想. 满 分 12 分. 解法一: (Ⅰ)当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 + c , …………………1分 当 n ≥ 2 时, an = S n ? Sn ?1 = 2n ? 2n ?1 = 2n ?1 , ∴ an = ?
? 2 + c, n = 1 ?2
n ?1
…………………3 分
,n ≥ 2
…………………4 分
∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a1 = 2 + c = 1 ∴ c = ?1 . ∴数列 {an } 的通项公式 an = 2n ?1 . (Ⅱ)∵ bn = Sn + 2n + 1 = 2n + 2n , ∴ Tn = (2 + 22 + L + 2n ) + 2(1 + 2 + L + n)
= 2(2n ?
  1) + n(n +
  1) = 2 n +1 ? 2 + n 2 + n .
…………………5 分 …………………6 分 …………………7 分 …………………9 分 ……………12 分
解法二: (Ⅰ) a1 = S1 = 2 + c, a2 = S2 ? S1 = 2, a3 = S3 ? S2 = 4 ,……………3 分 ∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a2 2 = a1a3 即 4 = 4(2 + c) , 解得 c = ?1 . 又 a1 = 1, a2 = 2 ,所以公比为
  2, ∴数列 {an } 的通项公式 an = 2n ?1 . …………………5 分 …………………6 分
(Ⅱ)同解法一.
  18. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基础知识,考查运 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、 弦定理等基础知识, 算求解能力,考查数形结合思想. 算求解能力,考查数形结合思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ) f ( x) = 2(
= sin 2x ,
2 2 sin 2 x ? cos 2 x) + cos 2 x , 2 2 = sin 2 x ? cos 2 x + cos 2 x
…………………4 分
π 4
∴ f ( x) max = 1 , x ∈ {x x = k π + , k ∈ Z} . (Ⅱ) b = f (
5π 5π 1 ) = sin = , 12 6 2
…………………6 分 …………………7 分
由正弦定理 ∴c =
1 . 4 1 2
a b π = ,得 sin B = 1 , B = , 2 sin A sin B
…………………10 分
3 . 32
∴ S?ABC = ac =
…………………12 分
解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ) b = f (
5π 5π 1 ) = sin = , 12 6 2
…………………7 分
3 1 1 = c2 + ? c , 16 4 2
由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,得 ∴c =
1 . 4 1 2 3 . 32
…………………10 分 …………………12 分
∴ S?ABC = bc sin A =

  19. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推 主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、 理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解(Ⅰ)由已知 HB = 1 ,…………………1 分
S?AGF = 1 AG ? GF = 2 , 2
D M A G E
C H B F
…………………3 分
1 2 V= VA? FGH = VH ? FGA = BH ? S ?AGF = .………6 分 3 3
(Ⅱ) 证明: AD 的中点 M , 取 连结 MH ,MG . ∵ G, H 分别是 AE , BC 的中点, ∴ MH // AB, GF // AB ,
∴ MH // GF ………………………9 分 ∴ MG ? 平面 FGH , 又 MG // DE , 且 DE ? 平面 FGH , MG ? 平面 FGH , ∴ DE // 平面 FGH . ……………………12 分
  20. 本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想、化归与 本题主要考查椭圆 直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想、 椭圆、 转化思想.满分 转化思想 满分 12 分. ?c 1 ? = , 解: (I)根据题意得: ? a 2 ………………1 分 ?b =
  3. ? 又 a 2 = b2 + c2 , 解得 a = 2 . ∴直线 l 的方程为 2 x + y ? 4 = 0 . (Ⅱ)由
c 1 = 得 a = 2c, b = 3c , a 2
x2 y2 + 2 =
  1, 2 4c 3c
………………3 分 ………………4 分
∴椭圆 E 的方程为:
直线 l 的方程为: 2 x + y ? 4c = 0 .
………………5 分
? x2 y2 ? 2 + 2 =1 联立 ? 4c 3c 得 19 x 2 ? 64cx + 52c 2 = 0 , ? 2 x + y ? 4c = 0 ?
………………7 分
解得 x1 = 2c, x2 = ∴ xM =
26 c, 19
………………9 分 ………………10 分
32 12 c , yM = c . 19 19
1 12 c? c S ?AFM 3 ∴ = 2 19 = , S ?AOB 1 ? 2c ? 4c 38 2
∴ ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值
3 . 38
……………………12 分

  21.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然与必然思想、
  21.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然与必然思想、化 本题主要考查概率 归与转化思想. 归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设季军队的男运动员人数为 n . 由题意得
5 16 , = 50 30 + 30 + 30 + 20 + n + 30
………………2 分
解得 n = 20 . …………………3 分 (Ⅱ)记 3 个男运动员分别为 A1 , A2 , A3 ,2 个女运动员分别为 B1 , B2 , 所有基本事件如下: ( A1, A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A

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