2010年中考数学试题分类汇编\_图形与证明



2010 2010 年中考数学试题分类汇编 图形与证明
一、选择题: 选择题: D
  1.如图所示,正方形 ABCD 中,点 E 是 CD 边上一点,连接 AE ,交 A 对角线 BD 于点 F ,连接 CF ,则图中全等三角形共有( ) F A.1 对 E B.2 对 C B C.3 对 第 8 题图 D.4 对
  2.如图, △ ABC 沿 DE 折叠, 将 使点 A 与 BC 边的中点 F 重合, 下列结论中: EF ∥ AB ①
1 AB ;② ∠BAF = ∠CAF ; 2 1 ③ S四边形ADFE = AF i DE ; 2 ④ ∠BDF + ∠FEC = 2∠BAC ,
且 EF = 正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 B
A D E F 第 20 题图 C

  3.如图,将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边中点 E 处,点 A 落在点 F 处,折痕为 MN,则线段 CN 的长是 ( ) . (A)3cm (B)4cm (C)5cm (D)6cm 二、填空题: 填空题:
  1. 已 知 菱 形 ABCD 的 面 积 是 12 cm , 对 角 线 AC = 4 cm , 则 菱 形 的 边 长 是
2
cm.
  2.如图
  4, 点 P 到∠AOB 两边的距离相等,若∠POB=30°,则 ∠AOB=度.
图4
  3.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD,AD=6,BC=8,则梯形的高 为 。
  4.如图所示,菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O ,若再补充一个条件能使菱形 ABCD 成为正方形,则这个条件是 (只填一个条件即可) .
1
A
D
A O B C 第 12 题图
D
B
图 8
E
C

  5.如图
  8,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 BC 上一点,DE∥AB,AD 的长为
  1,BC 的长 为
  2,则 CE 的长为.
  6.己知菱形 ABCD 的边长是
  6,点 E 在直线 AD 上,DE=
  3,连接 BE 与对角线 AC 相交于 点 M,则
MC 的值是 AM
。 cm.

  7.如图
  7,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AE∥DC,AB=6cm,则 AE=
A D E G I B E 图7 C B A F H J C
第(
  15)题

  8.如图,已知△ABC 中,EF∥GH∥IJ∥BC,则图中相似三角形共有
对.

  9.如图, 在正方形 ABCD 中, 为 AB 边的中点, F 分别为 AD, 边上的点, AG = 1 , E G, BC 若
BF = 2 , ∠GEF = 90° ,则 GF 的长为 D C F G A B E 第(
  16)题


  10.如图,矩形ABCD1 的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A B 2 2 2 ,再顺次连 1 1 1 2 CD
结四边形A B 2 2 2 四边中点得到四边形ABCD3 ,依此类推,求四边形ABCD 的 2 CD 3 3 3 n n n n 面积是 。

  11.如图,菱形 AB1C1 D1 的边长为
  1, ∠B1 = 60 ;作 AD2 ⊥ B1C1 于点 D2 ,以 AD2 为一边,
做第二个菱形 AB2C2 D2 ,使 ∠B2 = 60 ;作 AD3 ⊥ B2C2 于点 D3 ,以 AD3 为一边做第 三个菱形 AB3C3 D3 ,使 ∠B3 = 60 ; ?? 依此类推,这样做的第 n 个菱形 ABn Cn Dn 的 边 ADn 的长是 .
2
C3 B2 D3 A C2 B1
B3
A
D E
D1
F G
C1 D2 第 11 题图
B 第 7 题图
C

  12.矩形 ABCD 中, AB = 3 cm, AD = 6 cm,点 E 为 AB 边上的任意一点,四边形 EFGB 也是矩形,且 EF = 2 BE ,则 S△ AFC =
cm 2 .
三、解答题: 解答题:
  1.已知:△ABC 为等边三角形,D 为 AC 上任意一点,连结 BD. (1)在 BD 左下方,以 BD 为一边作等边三角形 BDE(尺规作图,保留作图痕迹,不写 作法) (2)连结 AE,求证:CD=AE.

  2.如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ⊥ AC ,∠B = 45 , AD = 求 DC 的长. A
2 , BC = 4 2 ,
D
B
C

  3.如图
  10,已知:
? ABCD 中, ∠BCD 的平分线 CE 交边 AD 于 E , ∠ABC
的平分线
BG 交 CE 于 F ,交 AD 于 G .求证: AE = DG .
3
A
E
G
D
F B 图 10 C

  4.如图
  12,P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A、C 不重合) ,点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB. (
  1)求证:① PE=PD ; ② PE⊥PD; (
  2)设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当 x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值. B E 图 12 C A P D

  5.如图,在 △ ABC 中, D 是 BC 边上的一点, E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F ,且 AF = DC ,连接 CF . (
  1)求证: D 是 BC 的中点; (
  2)如果 AB = AC ,试猜测四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论. A F
E
B
D 第 25 题图
C

  6.如图
  8,四边形 ABCD 是平行四边形.O 是对角线 AC 的中点,过点 O 的直线 EF 分别交 AB、DC 于点 E 、 F ,与 CB、AD 的延长线分别交于点 G、H. (
  1)写出图中不全等的两个相似三角形(不要求证明) ;
4

  2)除 AB=CD,AD=BC,OA=OC 这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段, 请选出其中一对加以证明.
图8

  7.如图 10 所示,E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点, EF⊥DE 交 BC 于点 F. (
  1)求证: ? ADE∽ ? BEF; (
  2) 设正方形的边长为
  4, AE= x ,BF= y .当 x 取什么值时, y 有最大值?并求出 这个最大值.

  8.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动,连接 DP 交 AC 于 点Q .
5

  1)试证明:无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有△ ADQ ≌△ ABQ ; (
  2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时,△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的
1 ; 6

  3) 若点 P 从点 A 运动到点 B , 再继续在 BC 上运动到点 C , 在整个运动过程中, 当点 P 运动到什么位置时,△ ADQ 恰为等腰三角形.

  9.正方形 ABCD 的边长为4,BE∥AC 交 DC 的延长线于 E。 (
  1)如图1,连结 AE,求△AED 的面积。 (
  2)如图2,设 P 为 BE 上(异于 B、E 两点)的一动点,连结 AP、CP,请判断四边形 APCD 的面积与正方形 ABCD 的面积有怎样的大小关系?并说明理由。 (
  3)如图3,在点 P 的运动过程中,过 P 作 PF⊥BC 交 AC 于 F,将正方形 ABCD 折叠, 使点 D 与点 F 重合,其折线 MN 与 PF 的延长线交于点 Q,以正方形的 BC、BA 为X轴、Y 轴建立平面直角坐标系,设点 Q 的坐标为(x,y) ,求 y 与 x 之间的函数关系式。

  10.已知: 如图①所示, △ ABC 和 △ ADE 中,AB = AC ,AD = AE , BAC = ∠DAE , 在 且点 B,A,D 在一条直线上,连接 BE,CD,M ,N 分别为 BE,CD 的中点. (
  1)求证:① BE = CD ;② △ AMN 是等腰三角形.
6

  2)在图①的基础上,将 △ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180 ,其他条件不变,得到 图②所示的图形.请直接写出(
  1)中的两个结论是否仍然成立; (
  3)在(
  2)的条件下,请你在图②中延长 ED 交线段 BC 于点 P . 求证: △PBD ∽△ AMN . C C N M B A 图① D E B M E 图② 第 25 题图
  11.有一底角为 60 的直角梯形,上底长为 10cm,与底垂直的腰长为 10cm,以上底或与底垂 直的腰为一边作三角形,使三角形的另一边长为 15cm,第三个顶点落在下底上.请计 算所作的三角形的面积. 已知:正方形 ABCD 中, ∠MAN = 45 , ∠MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别 交 CB,DC (或它们的延长线)于点 M ,N . ,易证 BM + DN = MN . 当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM = DN 时(如图
  1) (
  1)当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠ DN 时(如图
  2) ,线段 BM ,DN 和 MN 之间有 怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明. (
  2) ∠MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时, 当 线段 BM ,DN 和 MN 之间又有怎样的 数量关系?请直接写出你的猜想. A D N N B M 图1 C B M M 图2 图3 N C B C A D A D N D A

  12.在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 边上一点,连接 BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接 BD.点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动,过点 P 作 PQ∥BD 交直线 BE 于点 Q. (
  1) 当点 P 在线段 ED 上时(如图
  1) ,求证:BE=PD+
3 PQ; 3
7

  2)若 BC=
  6,设 PQ 长为 x,以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) ; (
  3)在②的条件下,当点 P 运动到线段 ED 的中点时,连接 QC,过点 P 作 PF⊥QC,垂 足为 F,PF 交对角线 BD 于点 G(如图
  2) ,求线段 PG 的长。

  12.已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8 ,D 为 AB 边上的点, 过点 D 作 DG ∥ BC 交 AC 于点 G . DE ⊥ BC 于点 E ,过点 G 作 GF ⊥ BC 于点 F ,把三角形纸片 ABC 分别沿 DG,DE,GF 按图 1 所示方式折叠,点 A,B,C 分别落在点 A′ , B′ , C ′ 处.若点 A′ , B′ , C ′ 在矩形 DEFG 内或其边上,且互不重合,此时我们称 △ A′B′C ′ (即图中 阴影部分)为“重叠三角形” . A A D D
A′
G
A′
G
B
E C ′ B ′F 图1
C
B
E C ′ B′ F 图2
C

  1)若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为 1 的 等边三角形) ,点 A,B,C,D 恰好落在网格图中的格点上.如图 2 所示,请直接写出此 时重叠三角形 A′B′C ′ 的面积; (
  2)实验探究:设 AD 的长为 m ,若重叠三角形 A′B′C ′ 存在.试用含 m 的代数式表示 重叠三角形 A′B′C ′ 的面积,并写出 m 的取值范围(直接写出结果,备用图供实验,探究使 用) . A A
B 备用图
C
B 备用图
C
解: (
  1)重叠三角形 A′B′C ′ 的面积为 ; (
  2)用含 m 的代数式表示重叠三角形 A′B′C ′ 的面积为
; m 的取值范围为

8

  13.请阅读下列材料: 问题:如图
  1,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A,B,E 在同一条直线上, P 是 线段 DF 的中点,连结 PG,PC .若 ∠ABC = ∠BEF = 60 ,探究 PG 与 PC 的位置关系 及
PG 的值. PC
小聪同学的思路是:延长 GP 交 DC 于点 H ,构造全等三角形,经过推理使问题得到 解决. C D P G A 图1 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题: B F E A 图2 P B E
D
C G F
PG 的值; PC (
  2)将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱 .你在(
  1)中得 形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图
  2)

  1)写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (
  3)若图 1 中 ∠ABC = ∠BEF = 2α (0 < α < 90 ) ,将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出 解: (
  1)线段 PG 与 PC 的位置关系是 (
  2)
PG 的值(用含 α 的式子表示) . PC PG ; = . PC
9

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