2010年全国高考文科数学试题及答案(陕西卷)



年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)A 卷 文科数学(必修+选修Ⅱ 文科数学(必修+选修Ⅱ)
小题, 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的( 每小题 5 分,共 50 分).
  1.集合 A = x ? 1 ≤ x ≤ 2 , B = x x < 1 ,则 A∩B= (A) (C)
{
}
{
}
{ x x < 1} { x ? 1 ≤ x ≤ 1}
(B) x ? 1 ≤ x ≤ 2 (D) x ? 1 ≤ x < 1
{
}
{
}
(D)第四象限

  2.复数 z=
i 在复平面上对应的点位于 1+ i
(B)第二象限 (C)第三象限
(A)第一象限

  3.函数 f ( x ) = 2 sin x cos x 是 (A)最小正周期为 2π的奇函数 (C)最 小正周期为π的奇函数 (B)最小正周期为 2π的偶函数 (D)最小正周期为π的偶函数

  4.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的 样本平均数分别为 x A和 xB ,样本标 准差分别为 s A 和 sB ,则 (A) xA > xB , s A > sB (B) xA < xB , s A > sB (C) xA > xB , s A < sB ( D) xA < xB , s A < sB
  5.右图是求 x1,x
  2,…,x10 的乘积 S 的程序框图,图中空白 框中应填入的内容为 (A) S=S ? ( n +
  1) (B) S = S ? xm +1 (C) S = S ? n (D) S = S ? xm
1

  6.“ a > 0 ”是“ a >0”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

  7. 下 列 四 类 函 数 中 , 具 有 性 质 “ 对 任 意 的 x > 0, y > 0 , 函 数 f ( x ) 满 足
f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) n ”的是
(A)幂函数 (C)指数函数 (B)对数函数 (D)余弦函数

  8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A)2 (C) (B)1 (D)
2 3
1 3

  9.已知抛物线 y 2 = 2 px( p >
  0) 的准线与圆 ( x ?
  3) 2 + y 2 = 16 相切,则 p 的值为 (A)
1 2
(B)1
(C)2
(D)4

  10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 1 0 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取 ... 整函数 y = [ x ] ([x]表示不大于 x 的最大 整数)可以表示为 (A)y=[
x ] 10
(B)y=[
x+3 ] 10
(C)y=[
x+4 ] 10
(D)y=[
x+5 ] 10
小题, 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上( 25 分).
  11.观察下列等式: 13 + 23 = (1 +
  2) 2 ,13 + 23 + 33 = (1 + 2 +
  3) 2 ,
13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 +
  4) 2 ,? , 根据上述规律,第四个等式为 .....

  12.已知向量 a = (2, ?
  1), b = ( ?1, m), c = ( ?1,
  2) 若 ( a + b)∥c ,则 m=
  13.已知函数 f ( x) = ? .
.
?3x + 2, x < 1,
2 ? x + ax, x ≥ 1,
若 f ( f (
  0)) = 4a ,则实数 a =
.
2
? x + 2 y ≤ 4, ?
  14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1, ,则目标函数 z = 3 x ? y 的最大值为 ? x + 2 ≥ 0, ?
.

  15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评 分) (考生注意 请在下列三题中任选一题作答,如果多做, A.(不等式选做题)不等式 2 x ? 1 < 3 的解集为 .
B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长 分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD= C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程 ? 化成普通方程为 . cm.
? x = cos α , ( α 为参数) ? y = 1 + sin α
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分).
  16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a
  1=
  1,且 a
  1,a
  3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列 2
{ } 的前 n 项和 S .
an n

  17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=
  6,求 AB 的长.

  18.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P?ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB,BP=BC=
  2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E?ABC 的体积 V.
.
3
19 (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10\%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查,测 得身高情况的统计图如下:
(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ) 从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190cm .. 之间的概率.

  20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C:
x2 y2 + = 1 的 顶 点 为 A1 , A2 , B1 , B2 , 焦 点 为 F1 , F2 , a2 b2
A1 B1 = 7, S ?B1 A1B2 A2 = 2 S ?B1F1B2 F2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 为过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于 P 点,与椭圆相交于 A, B 两点的直线,
OP = 1 .是否存在上述直线 l 使 OA ? OB = 0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若
不存在,请说明理由.

  21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =
x , g ( x) = a ln x , a ∈ R
(Ⅰ)若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x ) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切 线的方程; (Ⅱ)设函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,当 h( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? ( a ) ,证明:当 a ∈ (0, +∞) 时, ? ( a ) ≤ 1 .
4
参考答案
一、选择题 1-5 DACBD 6-10 ACBCB 二、填空题
  11.13+23+33+43+53=(1+2+3+4+
  5)
  2(或 1
  52)
  12.-1 13 2
  14. 5
  15. A{x|-1<x<2} 16 B 5 Cx +(y-
  1)2 =1
2

  16. 解: (
  1)由题设知公差 d≠0 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得
1 + 2 d 1 + 8d = 1 1 + 2d
解得 d=1,d=0 (舍去), 故{an}的通项 an=1+(n-
  1)×1=n
(II)由(I)知 2
an n, =2 ,
由等比数列前 n 项和公式得
Sn=2+22+23+…+2n= 2(1 ? 2 n ) = 2 n +1 ?
  2. 1? 2 AD 2 + DC 2 ? AC 2 100 + 36 ? 196 1 = =? , 2 ADi DC 2 × 10 × 6 2
17 解:在△ADC 中,AD=
  10,AC=
  14,DC=6, 由余弦定理得 cos ∠
∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ∠ B=45°, ∠ ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B
ADisin ∠ADB 10 sin 60° ∴ AB= = = sin B sin 45°
10 × 2 2
3 2 =5 6
18 解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中 点,∴EF∥ BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA 2 在?PAB 中, AP=AB, ∠PAB=90° BP=2, ∴AP=AB= 2 ,EG=
5
2 2
∴S?ABC=
1 1 AB ? BC = × 2 × 2 = 2 , 2 2
1 3
∴VE-ABC =
S?ABC?EG
1 2 1 × 2× = , 3 2 3
19 解 : (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10\%估计全校男生人数为 4
  00. (Ⅱ)由统计图知,样本中身高在 170~1 85cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样 本容量为 70 ,所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f = 校学生身高在 170~180cm 之间的概率 p =
  0.
  5. (Ⅲ)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④, 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥, 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:
35 =
  0.5, 故有 f 估计该 70
故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为
  15,至少有 1 人 身高在 185~190cm 之间的可能结果数为
  9,因此,所求概率 p2 = 20 解 : (Ⅰ)由 A1 B1 =
9 3 = . 15 5
7 知 a2+b2=7,
① ② ③
由 S ? A1 B1 A2 B2 = 2 S ? B1 F1 B2 F2 知 a=2c, 又 b2=a2-c2 由 ①,②,③解得 a2=4,b2=3,
x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 + =
  1. 4 3
(Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1 , y
  1),( x2 , y2 ) 假设使 OAiOB = 0 成立的直线 l 存在, (i) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y = kx + m , 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP = 1 得
|m| 1+ k
2
= 1 ,即 m2=k2+1
6
由 OA□OB = 0 得 x1x2+y1y2=0
将 y=kx+m 代入椭圆方程,得 (3+4k
  2)x2+8kmx+(4m2-
  12)=0, ? 8km 由求根公式可得 x1+x2= 3 + 4k 2 x1+x2=
4m 2 ? 12 3 + 4k 2
4 ○
5 ○
0 = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 + m)(kx2 + m)
= x1 x2 + k 2 x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 = (1 + k 2 ) x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 ,
将④,⑤代入上式并化简得
(1 + k 2 )(4m 2 ?
  12) ? 8k 2 m 2 + m 2 (3 + 4k 2 ) = 0,
将 m = 1 + k 代入⑥并化简得 ?5( k 2 +
  1) = 0 ,矛盾.
2

即此时直线 l 不存在. (ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足 OP = 1 的直线 l 的方程为 x = 1或x = ?1 , 则 A,B 两点的坐标为 (1, ), (1, ? ), 或 ( ?1, ), ( ?1, ? ), 当 x = 1 时, OAiOB = (1, )i(1, ? ) = ?
3 2
3 2
3 2
3 2
5 ≠ 0; 4 3 3 5 当 x = ?1 时, OAiOB = ( ?1, )i( ?1, ? ) = ? ≠ 0; 2 2 4 ∴ 此时直线 l 也不存在.
3 2
3 2
综上可知,使 OAiOB = 0 成立的直线 l 不存在. 21 解: (Ⅰ) f ′ ( x ) =
1 2 x
, g ′( x ) =
a (x>
  0), x
? x = a ln x, ? 由已知得 ? 1 a = , ? ?2 x x
解得 a=
e ,x=e2, 2
1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f’(e
  2)= 2e ∴切线的方程为 y-e= (II)由条件知 h(x)= 1 (x-e
  2) 2e
x ?aln x(x>
  0),
7
(i)当 a>0 时,令 h′( x ) = 0, 解得 x = 4a ,
2

当 0 < x < 4a 时, h′( x ) < 0, , h( x ) 在(
  0, 4a )上递减;
2 2
当 x> 4a 时, h′( x ) > 0, , h( x ) 在 (4a , +∞) 上递增.
2
2
∴ 点. ∴
x = 4a 2 是 h( x) 在 (0, +∞) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h( x) 的最小值
最小值 ? ( a ) = h(4a 2 ) = 2a ? a ln 4a 2 = 2a (1 ? ln 2a ).
(ii)当 a ≤ 0 时, h′( x ) =
x ? 2a > 0, h( x) 在(
  0,+∞)上递增,无最小值。 2x
故 h( x ) 的最小值 ? ( a ) 的解析式为 ? ( a ) = 2a (1 ? ln 2a )( a >
  0). (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ? ( a ) = 2a (1 ? ln 2 ? ln a ). 则 ? ′ ( a ) = ?2 ln 2a ,令 ? ′ ( a ) = 0 解得 a =
1 . 2 1 1 当 0 < a < 时, ? ′ ( a ) > 0 ,∴ ? ( a ) 在 (0, ) 上递增; 2 2 1 1 当 a > 时, ? ′ ( a ) < 0 ,∴ ? ( a ) 在 ( , +∞) 上递减. 2 2 1 1 ∴ ? ( a ) 在 a = 处取得最大值 ? ( ) = 1, 2 2 1 ∵ ? ( a ) 在 (0, +∞ ) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) = 1 也是 ? ( a ) 的最大值. 2
∴当 a ∈ (0, +∞) 时,总有 ? ( a ) ≤
  1.
8

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