2010年全国高考文科数学试题及答案-陕西



考试(陕西卷) 文科数学(必修+选修Ⅱ 2010 年高考试(陕西卷)A 卷文科数学(必修+选修Ⅱ)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的( 小题, 共 50 分).
  1.集合 A = x ? 1 ≤ x ≤ 2 , B = x x < 1 ,则 A∩B= (A)
{ x x < 1}
{
} (B) { x ? 1 ≤ x ≤ 2}
}
{
(C)
{ x ? 1 ≤ x ≤ 1}
(D) x ? 1 ≤ x < 1
{
}

  2.复数 z=
i 在复平面上对应的点位于 1+ i
(C)第三象限 (D)第四象限
(A)第一象限 (B)第二象限
  3.函数 f ( x ) = 2 sin x cos x 是 (A)最小正周期为 2π的奇函数 (C)最 小正周期为π的奇函数
(B)最小正周期为 2π的偶函数 (D)最小正周期为π的偶函数

  4.如图, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 它们的 样本平均数分别为 x A和 xB ,样本标准差分别为 s A 和
sB ,则
(A) xA > xB , s A > sB (B) xA < xB , s A > sB (C) xA > xB , s A < sB ( D) xA < xB , s A < sB
  5.右图是求 x1,x
  2,…,x10 的乘积 S 的程序框图, 图中空白框中应填入的内容为 (A) S=S ? ( n +
  1) (B) S = S ? xm +1 (C) S = S ? n (D) S = S ? xm
  6.“ a > 0 ”是“ a >0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
  7.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x > 0, y > 0 ,函数 f ( x ) 满足
f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) n ”的是
(A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数
  8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
1 3 2 2
  9.已知抛物线 y = 2 px ( p >
  0) 的准线与圆 ( x ?
  3) + y 2 = 16 相切,则 p 的值为 1 (A) (B)1 (C)2 (D)4 2
(A)2 (B)1 (C) (D)
  10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 1 0 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数 ... 关系用取整函数 y = [ x ] ([x]表示不大于 x 的最大 整数)可以表示为 (A)y=[
2 3
x ] 10
(B)y=[
x+3 ] 10
(C)y=[
x+4 ] 10
(D)y=[
x+5 ] 10
小题, 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上( 3 3 2 3 3 3 2
  11.观察下列等式: 1 + 2 = (1 +
  2) ,1 + 2 + 3 = (1 + 2 +
  3) ,
13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 +
  4) 2 ,L , 根据上述规律,第四个等式为 .....

  12.已知向量 a = (2, ?
  1), b = ( ?1, m), c = ( ?1,
  2) 若 ( a + b)∥c ,则 m=
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. .
1

  13.已知函数 f ( x) = ?
若 f ( f (
  0)) = 4a ,则实数 a = . 2 ? x + ax, x ≥ 1, ? x + 2 y ≤ 4, ?
  14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1, ,则目标函数 z = 3 x ? y 的最大值为 ? x + 2 ≥ 0, ? A.(不等式选做题)不等式 2 x ? 1 < 3 的解集为 .
?3x + 2, x < 1,
.

  15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评 分) (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做, 一题作答 B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长 分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD= cm. C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?
? x = cos α , ( α 为参数) ? y = 1 + sin α
化成普通方程为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分).
  16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a
  1=
  1,且 a
  1,a
  3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列 2
{ } 的前 n 项和 S .
an n

  17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=
  6,求 AB 的长.
  18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB, BP=BC=
  2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E?ABC 的体积 V. 19 (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况, 某校以 10\%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查, 测得身高情况的统计图如下:
(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. ..
  20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C:
x2 y2 + = 1 的 顶 点 为 A1 , A2 , B1 , B2 , 焦 点 为 F1 , F2 , a2 b2
A1 B1 = 7, S
B1 A1B2 A2
= 2S
B1 F1B2 F2
.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设 n 为过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于 P 点,与椭圆相交于 A, B 两点的直线, OP = 1 .是否存 在上述直线 l 使 OA ? OB = 0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由.
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uuu r
uuu uuu r r

  21、(本小题满分 14 分)
x , g ( x) = a ln x , a ∈ R (Ⅰ)若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x ) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (Ⅱ)设函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,当 h( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? ( a ) ,证明:当 a ∈ (0, +∞) 时, ? ( a ) ≤ 1 .
已知函数 f ( x ) =
参考答案
一、选择题 1-5 DACBD 6-10 ACBCB 二、填空题
  11.13+23+33+43+53=(1+2+3+4+
  5)
  2(或 1
  52)
  12.-1 13 2
  14. 5 16 2
  15. A{x|-1<x<2} B Cx +(y-
  1)2 =1 5
  16. 解: (
  1)由题设知公差 d≠0 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得
1 + 2 d 1 + 8d = 1 1 + 2d
解得 d=1,d=0 (舍去), 故{an}的通项 an=1+(n-
  1)×1=n
(II)由(I)知 2 n=2n,, 由等比数列前 n 项和公式得 2(1 ? 2 n ) = 2 n +1 ?
  2. Sn=2+22+23+…+2n= 1? 2
17 解:在△ADC 中,AD=
  10,AC=
  14,DC=6,
a
AD 2 + DC 2 ? AC 2 100 + 36 ? 196 1 由余弦定理得 cos ∠ = =? , 2 AD DC 2 × 10 × 6 2 ∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ∠ B=45°, ∠ ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B 3 10 × AD sin ∠ADB 10 sin 60° 2 =5 6 ∴ AB= = = sin B sin 45° 2 2
18 解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中 点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA 2 在?PAB 中, AP=AB, ∠PAB=90° BP=2, ∴AP=AB= 2 ,EG=
2 2
1 1 AB ? BC = × 2 × 2 = 2 , 2 2 1 1 2 1 × 2× = , ∴VE-ABC = S?ABC?EG 3 3 2 3
∴S?ABC= 19 解 : (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10\%估计全校男生人数为 4
  00.
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(Ⅱ)由统计图知,样本中身高在 170~1 85cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量为 70 , 所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f =
的概率 p =
  0.
  5. (Ⅲ) 样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人, 设其编号为①, ③, 样本中身高在 185~190cm ②, ④, 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥,从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:
35 =
  0.5, 故有 f 估计该校学生身高在 170~180cm 之间 70
故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为
  15,至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为
  9,因此,所求概率 p2 = 20 解 : (Ⅰ)由 A1 B1 = 又 b =a -c
2 2 2
9 3 = . 15 5
7 知 a2+b2=7,
① ② ③
由 S A1 B1 A2 B2 = 2 S B1 F1 B2 F2 知 a=2c, 由 ①,②,③解得 a2=4,b2=3,
x2 y 2 + =
  1. 4 3 uuu uuu r r (Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1 , y
  1),( x2 , y2 ) 假设使 OA OB = 0 成立的直线 l 存在, uuu r (i) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y = kx + m , 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP = 1 得
故椭圆 C 的方程为
|m| 1+ k
2
= 1 ,即 m2=k2+1
由 OA OB = 0 得 x1x2+y1y2=0
将 y=kx+m 代入椭圆方程,得
(3+4k
  2)x2+8kmx+(4m2-
  12)=0, ? 8km 由求根公式可得 x1+x2= 3 + 4k 2 4m 2 ? 12 x1+x2= 3 + 4k 2 0 = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 + m)(kx2 + m)
= x1 x2 + k 2 x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 = (1 + k 2 ) x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 ,
将④,⑤代入上式并化简得
○ 4 ○ 5
(1 + k 2 )(4m 2 ?
  12) ? 8k 2 m 2 + m 2 (3 + 4k 2 ) = 0,
将 m = 1 + k 代入⑥并化简得 ?5( k +
  1) = 0 ,矛盾.
2 2

即此时直线 l 不存在. uuu r (ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足 OP = 1 的直线 l 的方程为 x = 1或x = ?1 , 则 A,B 两点的坐标为 (1, ), (1, ? ), 或 ( ?1, ), ( ?1, ? ), 当 x = 1 时, OA OB = (1, ) (1, ? ) = ?
3 2
3 2
3 2
3 2
uuu uuu r r 5 3 3 5 ≠ 0; 当 x = ?1 时, OA OB = (?1, ) (?1, ? ) = ? ≠ 0; 4 2 2 4 uuu uuu r r ∴ 此时直线 l 也不存在. 综上可知,使 OA OB = 0 成立的直线 l 不存在. 1 a , g ′( x ) = (x>
  0), 21 解: (Ⅰ) f ′ ( x ) = x 2 x
3 2 3 2
4
uuu uuu r r
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? x = a ln x, ? 由已知得 ? 1 a = , ? ?2 x x
解得 a=
e ,x=e2, 2
1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f’(e
  2)= 2e 1 ∴切线的方程为 y-e= (x-e
  2) 2e (II)由条件知 h(x)= x ?aln x(x>
  0), (i)当 a>0 时,令 h′( x ) = 0, 解得 x = 4a ,
2
∴ ∴ ∴
当 0 < x < 4a 时, h′( x ) < 0, , h( x ) 在(
  0, 4a )上递减;
2 2
当 x> 4a 时, h′( x ) > 0, , h( x ) 在 (4a , +∞) 上递增.
2
2
x = 4a 2 是 h( x) 在 (0, +∞) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h( x) 的最小值点. 最小值 ? ( a ) = h(4a 2 ) = 2a ? a ln 4a 2 = 2a (1 ? ln 2a ).
x ? 2a > 0, h( x) 在(
  0,+∞)上递增,无最小值。 2x 故 h( x ) 的最小值 ? ( a ) 的解析式为 ? ( a ) = 2a (1 ? ln 2a )( a >
  0). (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ? ( a ) = 2a (1 ? ln 2 ? ln a ). 1 则 ? ′ ( a ) = ?2 ln 2a ,令 ? ′ ( a ) = 0 解得 a = . 2 1 1 当 0 < a < 时, ? ′ ( a ) > 0 ,∴ ? ( a ) 在 (0, ) 上递增; 2 2 1 1 当 a > 时, ? ′ ( a ) < 0 ,∴ ? ( a ) 在 ( , +∞) 上递减. 2 2 1 1 ∴ ? ( a ) 在 a = 处取得最大值 ? ( ) = 1, 2 2 1 ∵ ? ( a ) 在 (0, +∞ ) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) = 1 也是 ? ( a ) 的最大值. 2 ∴当 a ∈ (0, +∞) 时,总有 ? ( a ) ≤
  1.
(ii)当 a ≤ 0 时, h′( x ) =
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