2010年高考数学试题分类汇编--三角函数



浙江理数) (
  18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、 (2010 浙江理数) C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C = ? 1 (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=
  2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知 识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ? 1 ,及
  0<C<π
4 4
所以 sinC=
10 . 4 a c = ,得 sin A sin C
(Ⅱ)解:当 a=
  2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ? 1 ,J 及
  0<C<π得
4
cosC=±
6 4
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2 ± 解得 所以
6 b-12=0
b= b= c=4
6或 6
2
6
b= 或
6
c=4
理数) (
  17) (本小题满分 10 分) (2010 全国卷 2 理数)
?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 , sin B =
5 , cos ∠ADC = 3 , 13 5
求 AD .
第 - 1 - 页 共 11 页 三角函数
【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公 式和正弦定理在解三角形中的应用, 考查考生对基础知识、 基 本技能的掌握情况. 【参考答案】 由 cos∠ADC= >
  0,知 B< . 由已知得 cosB= ,sin∠ADC= .
从 而 sin ∠ BAD=sin ( ∠ ADC-B ) =sin ∠ ADCcosB-cos ∠ ADCsinB= = .
由正弦定理得
,所以
=
.
【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的 热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出 现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用 正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
陕西文数) (2010 陕西文数)
  17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的 点, AD=10,AC=14,DC=
  6,求 AB 的长.
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解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ∠
AD 2 + DC 2 ? AC 2 2 ADi DC
= 100 + 36 ? 196 = ? 1 ,
2 × 10 × 6 2
∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, 由正弦定理得
∴ AB=
∠ B=45°, ∠ ADB=60°,
AB AD = sin ∠ADB sin B
,
3 2 =5
  6.
ADisin ∠ADB 10 sin 60° = = sin B sin 45°
10 × 2 2
辽宁文数) (
  17) (本小题满分 12 分) (2010 辽宁文数) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A = (2b + c)sin B + (2c + b) sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B + sin C = 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c)b + (2c + b)c 即 a2
= b 2 + c 2 + bc = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
由余弦定理得 a 2
2
故 cos A = ? 1 , A = 120° (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin 2 A = sin 2 B + sin 2 C + sin B sin C. 又 sin B + sin C = 1 ,得 sin B = sin C = 1 因为 0° < B < 90°,0° < C < 90° , 故B=C
第 - 3 - 页 共 11 页 三角函数
2
所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 辽宁理数) (
  17) (本小题满分 12 分) (2010 辽宁理数) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且
2asin A = (2a + c)sin B + (2c + b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c)b + (2c + b)c 即
a 2 = b 2 + c 2 + bc
由余弦定理得 故 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:
cos A = ?
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
1 ,A=120° 2
……
sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B )
3 1 cos B + sin B 2 2 = sin(60° + B) =
故 当
  1。
B=30 ° 时 , sinB+sinC ……12 分
取 得 最 大 值
安徽文数) (本小题满分 12 分) (2010 安徽文数)
  16、
?ABC
的面积是
  30,内角 A, B, C 所对边 长分别为 a, b, c ,
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cos A =
12 。 13
(Ⅰ)求 ABi AC ; (Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值。 【命题意图】 本题考查同角三角函数的基本关系, 三角形面积 公式, 向量的数量积, 利用余弦定理解三角形以及运算求解能 力. 【解题指导】 (
  1)根据同角三角函数关系,由 cos A = 12 得 sin A 的
13
值,再根据 ?ABC 面积公式得 bc = 156 ;直接求数量积 ABi AC .由余 弦定理 a 2 = b2 + c 2 ? 2bc cos A ,代入已知条件 c ? b = 1 ,及 bc = 156 求 a 的值. 解:由 cos A = 12 ,得 sin A =
13
12 5 1 ? ( )2 = . 13 13
又 1 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 .
2
(Ⅰ) AB ? AC = bc cos A = 156 × 12 = 144 .
13
(Ⅱ) a 2 = b2 + c 2 ? 2bc cos A = (c ? b)2 + 2bc(1 ? cos A) = 1 + 2 ?156 ? (1 ? 12 ) = 25 ,
13
∴a =
  5. 【规律总结】 根据本题所给的条件及所要求的结论可知, 需求
bc 的值, 考虑已知 ?ABC 的面积是

  30,cos A = 12 , 所以先求 sin A 的
13
值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问中求 a 的值, 根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010 重庆文数) (
  18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ) 小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且
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3 b 2 +3 c 2 -3 a 2 =4
2 bc
.
π
(Ⅰ) 求 sinA 的值;
2sin( A + ) sin( B + C + ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A
π
浙江文数) (
  18) (本题满分)在△ABC 中,角 A,B, (2010 浙江文数) C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 设 S 为 △ ABC 的 面 积 , 满 足
S= 3 2 (a + b 2 ? c 2 ) 。 4
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的最大值。
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三角函数
天津文数) (
  17) (本小题满分 12 分) (2010 天津文数) 在 ? ABC 中, AC = cos B 。
AB cos C
(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =- 1 ,求 sin ? 4B + π ? 的值。 ? ?
3
?
3?
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角 三角函数的基本关系、 二倍角的正弦与余弦等基础知识, 考查 基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ) 证明: 在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 sin B = cosB .
sin C cosC
于是 sinBcosC-cosBsinC=
  0, sin B-C) 即 ( =
  0.因为 ?π < B ? C < π , 从而 B-C=
  0. 所以 B=C. (Ⅱ) 由 A+B+C= π 和 解: (Ⅰ) A= π -2B,故 cos2B=-cos 得 ( π -2B)=-cosA= 1 .
3
又 0<2B< π ,于是 sin2B=
1 ? cos 2 2B =
2 2 3
.
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三角函数


9
sin4B=2sin2Bcos2B=
4 2 9

cos4B= cos 2 2 B ? sin 2 2 B = ? 7 . 所以 sin(4 B + π ) = sin 4 B cos π + cos 4 B sin π
3 3 3
=
4 2 ?7 3 18
理数) (2010 全国卷 1 理数)(
  17)(本小题满分 10 分) 已知
VABC
的内角
A

B
及其对边
a

b
满足
a + b = a cot A + b cot B ,求内角 C .
福建理数) (本小题满分 13 分) (2010 福建理数)
  19.
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 。 在小艇出发时 ,
轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并 以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。 假设该小船 沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过 t 小时与 轮船相遇。 (
  1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的 大小应为多少? (
  2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设 计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇 能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(
  1)得
OC = 10 3,AC=10,故OC >AC ,且对于线段AC上任意点P,有OP ≥ OC >AC,而
第 - 8 - 页 共 11 页 三角函数
小艇
的最高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故轮船与小艇不可能 在 A 、 C ( 包 含 C ) 的 任 意 位 置 相 遇 , 设
10 3 cos θ
∠COD=θ (0 <θ <90 ),则在Rt ?COD中,CD = 10 3 tan θ ,OD=

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为
t= 10 + 10 3 tan θ 30
和t =
10 3 v cos θ

15 3 3 ,又v ≤ 30,故 sin (θ +30 ) ≥ , sin (θ +30 ) 2 3 ,于是 3
所以 10 + 10 从而 30
3 tan θ 10 3 = 30 v cos θ
, 解得 v =
≤ θ <90 ,由于θ = 30 时, θ 取得最小 值,且最小值为 tan 3 tan θ 30
当 θ = 30 时, = 10 + 10 t
取得最小值,且最小值为 2 。
3
此时,在 ?OAB 中, OA = OB = AB = 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以 最短时间与轮船相遇。
(2010 安徽理数)
  16、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长, 并且
sin 2 A = sin( + B ) sin( ? B ) + sin 2 B 。 3 3
π
π
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 ABi AC = 12, a = 2
7 ,求 b, c (其中 b < c ) 。
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三角函数
江苏卷) (本小题满分 14 分) (2010 江苏卷)
  17、 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂 直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= α ,∠ADE= β 。 (
  1)该小组已经测得一组 α 、 β 的值,tan α =
  1.
  24,tan β =
  1.
  20, 请据此算出 H 的值; (
  2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调 整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) α 与 β ,使 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m, 试问 d 为多少时, - β 最大? α [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等 式的应用。 (
  1)
H H = tan β ? AD = AD tan β
,同理: AB =
H tan α
, BD =
h tan β

第 - 10 - 页 共 11 页
三角函数
AD ? AB=DB , 故 得
H= h tan α 4 ×
  1.24 = = 124 。 tan β ? tan α
  1.24 ?
  1.20
H H h ? = tan β tanα tan β
, 解 得 :
因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (
  2)由题设知 d = AB ,得 tan α = H , tan β =
d H h H ?h = = , AD DB d H H ?h ? tan α ? tan β hd h d = d = 2 = tan(α ? β ) = 1 + tan α ? tan β 1 + H ? H ? h d + H ( H ? h) d + H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d+ ≥ 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d = H (H ? h) = 125×121 = 55 5 时, d
取等号) 故当 d = 55
5 时, tan(α ? β ) 最大。
2 2 5 时, α - β 最大。
因为 0 < β < α < π ,则 0 < α ? β < π ,所以当 d = 55 故所求的 d 是 55
5 m。
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三角函数

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