2010年高考试题??数学文(福建卷)精校版



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2010 年高考试题??数学(文史类) 福建卷) 年高考试题??数学(文史类) 福建卷) ??数学 (
第 I 卷(选择题 共 60 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的.
  1.若集合 A = {x |1 ≤ x ≤ 3} , B = {x | x > 2} ,则 A ∩ B 等于 A. {x | 2 < x ≤ 3}
2
B. {x | x ≥ 1}
C. {x | 2 ≤ x < 3}
D. {x | x > 2}

  2.计算 1-2 sin
  22.5°的结果等于
A.
1 2
B.
2 2
C.
3 3
D.
3 2

  3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于 ... A. 3 C. 2 3 B.2 D.6

  4. i 是虚数单位, ( A. i 是
1+ i 4 ) 等于 1i B. i
C.1
D.-1
x ≥ 1
  5.若 x,y ∈ R ,且 x 2 y + 3 ≥ 0 ,则 z = x + 2 y 的最小值等于 y ≥ x
A.2 B.3 C.5 D.9
  6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5
x 2 + 2 x 3,x ≤ 0
  7.函数 f ( x) = 的零点个数为 2 + ln x,x > 0
A.2 B.2 C.1 D.0
  8.若向量 a = ( x, x ∈ R ) ,则" x = 4 "是" | a |= 5 "的
  3)( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
  9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数 分别是 A.
  91.5 和
  91.5 B.
  91.5 和 92 C.91 和
  91.5 D.92 和 92
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  10. 将函数 f ( x ) = sin(ω x + ) 的图像向左平移 值不可能等于 ... A.4
π
2
个单位, 若所得图像与原图像重合, ω 的 则
B.6
C.8
D.12

  11.若点 O 和点 F 分别为椭圆
x2 y 2 + = 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则 4 3
uuu uuu r r OP FP 的最大值为
A.2 B.3 C.6
2
D.8

  12.设非空集合 S = {x | m ≤ x ≤ l} 满足:当 x ∈ S 时,有 x ∈ S .给出如下三个命题: ①若 m = 1 ,则 S = {1} ;②若 m = 其中正确命题的个数是 A.0 B.1
1 1 1 2 ,则 ≤ l ≤ 1 ;③若 l = ,则 ≤ m ≤
  0. 2 4 2 2
C.2 D.3
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 填空题:
  13.若双曲线
x2 y2 1 2 = 1(b >
  0) 的渐近线方程为 y = ± x ,则 b 等于 4 b 2
.

  14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频 率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频率之和等于 27,则 n 等于 .
  15.对于平面上的点集 ,如果连接 中任意两点的线段必定包含 ,则称 集.给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界) : 为平面上的凸
其中为凸集的是
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(写出所有凸集相应图形的序号) .
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  16.观察下列等式: ① cos 2α = 2 cos α 1 ;
2
② cos 4α = 8cos α 8 cos α + 1 ;
4 2
③ cos 6α = 32 cos α 48cos α + 18cos α 1 ;
6 4 2
④ cos 8α = 128cos α 256 cos α + 160 cos 32 cos α + 1 ;
8 6 4 2
⑤ cos10α = m cos α 1280 cos α + 1120 cos α + 160 cos 32 cos α + 1 ;
10 8 6 4 2
可以推测, m n + p =
.
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:
  17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 中, a1 =
1 1 n +1 * ,前 n 项和 Sn 满足 S n +1 S n = ( ) ( n ∈ N ) . 3 3
(Ⅰ)求数列数列 {an } 的通项公式 an ,以及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)若 S1 , t ( S1 + S 2 ) , 3( S 2 + S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值.
  18. (本小题满分 12 分) 设平面向量 am = ( m, , bn = (2,n) ,其中 m,n ∈ {1, 3, .
  1) 2, 4} (Ⅰ)请列出有序数组 (m,n) 的所有可能结果; (Ⅱ)记"使得 am ⊥ (am an ) 成立的 (m,n) "为事件 A ,求事件 A 发生的概率.
  19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 = 2 px ( p >
  0) 过点 A(1,
  2) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于
5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

  20. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) , 且 EH‖A1 D
  1. 过 EH 的平面与棱 BB1 ,CC1 相交,交点分别为 F,G.
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(I) 证明:AD‖平面 EFGH; (II) 设 AB=2AA1 =2 a .在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点.记该点取自几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p,当点 E,F 分别在棱 A1B1 上运动且满足 EF=a 时,求 p 的最小值.
  21. (本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港 口的 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方 向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船 相遇. (I) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (II) 为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最 小值; (III) 是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方 向与轮船相遇?若存在,试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由.
  22. (本小题满分 14 分)
1 x 2 + ax + b 的图像在点 P(0,f(
  0))处的切线方程为 y = 3x 2 . 3 (Ⅰ)求实数 a,b 的值; m (Ⅱ)设 y 2 = 4 x(
  2)2 = 2 p 2, x = 1 g ( x) = f ( x) + 是 [2, +∞) 上的增函数. x 1 (?)求实数 m 的最大值; (?)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线能与曲线 y = g ( x) 围成两个封
已知函数 f ( x) = 闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.
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参考答案
一,选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 选择题:本大题考查基础知识和基本运算.
  1.A
  2.B
  3.D
  4.C
  5.B
  6.C
  7.B
  8.A
  9.A
  10.B
  11.C
  12.D 二,填空题:本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 4 分,满分 16 分. 填空题:本大题考查基础知识和基本运算.
  13.1
  14.60
  15.②③
  16.962 解答题: 小题; 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题;共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
  17.本小题主要考查数列,等差数列,等比数列等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想,化归与转化思想.满分 12 分.
1 1 an +1 = ( )n +1 3 解:(Ⅰ)由 S n+1 -S n =( 3 )n + 1 得 (n∈N *); a1 = 1 1 an = ( ) n 3 ,故 3 (n∈N *)

1 1 × [1 ( )n ] 3 = 1 [1 ( 1 ) n ] sn = 3 1 2 3 1 3 从而 (n∈N *). S1 = 1 4 13 S2 = S3 = 3, 9, 27 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
从而由 S 1,t(S 1+ S
  2) ,3(S 2+ S
  3)成等差数列可得:
1 4 13 1 4 + 3 × ( + ) = 2 × ( + )t 3 9 27 3 9 ,解得 t=
  2.

  18.本小题主要考查概率,平面向量等基础知识,考查运算求解能力,应用意识, 考查化归与转化思想,必然与或然思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)有序数组(m,n)的吧所有可能结果为: (1,
  1)(1,
  2)(1,
  3)(1,
  4)(2,
  1)(2,
  2)(2,
  3)(2,
  4)(3,
  1)(3,
  2) , , , , , , , , , , (3,
  3)(3,
  4)(4,
  1)(4,
  2)(4,
  3)(4,
  4) , , , , , ,共 16 个.
2 2 (Ⅱ)由 am ⊥ (am bn ) 得 m 2m + 1 n = o ,即 n = ( m
  1) .
由于 m, n ∈ {1,2,3,4} ,故事件 A 包含的基本条件为(2,
  1)和(3,
  4) ,共 2
个.又基本事件的总数为 16,故所求的概率
P ( A) =
2 1 = 16 8 .

  19.本小题主要考查直线,抛物线等基础知识,考查推理论证能力,运算求解 能力,考查函数方程思想,数形结合思想,化归与转化思想,分类与整合思想.满分 12 分.
2 解: (Ⅰ)将(1,-
  2)代入 y = 2 px ,所以 p = 2 .
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2 故所求的抛物线 C 的方程为 y = 4 x ,其准线方程为 x = 1 .
(Ⅱ)假设存在符合题意的直线 l ,其方程为 y=-2x + t , ,得 y2 +2 y -2 t=
  0. 由 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以得 =4+8 t,解得 t ≥-1/2 .
另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=
,可得
=
,解得 t=±
  1.
因为-1[- ,+∞) 1∈[- , , +∞) 所以符合题意的直线 l 存在, , 其方程为 2x+y-1 =
  0.
  20.本小题主要考察直线与直线,直线与平面的位置关系,以及几何体的体积,几何概念等 基础知识,考察空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,考察函数与方程思想,形数 结合思想,化归与转化思想,必然与或然思想.满分 12 分 解法一: (I) 证明:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD‖A1 D1 又∵EH‖A1 D1 ,∴AD‖EH. ∵AD¢平面 EFGH EH 平面 EFGH ∴AD//平面 EFGH. (II) 设 BC=b,则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V=ABADAA1 =2a2b, 几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1 =(1/2EB1 B1F)B1C1 =b/2EB1 B1 F ∵EB12 + B1 F2=a2 ∴EB12 + B1 F2 ≤ (EB12 + B1 F2 )/2 = a2 / 2,当且仅当 EB1 =B1 F= 从而 V1 ≤ a2b /4 . /2 a 时等号成立
故 p=1-V1/V ≥
7/8
解法二: (I) 同解法一 (II) 设 BC=b,则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V=ABADAA1 =2a2b , 几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1=(1/2 EB1 B1 F)B1C1 =b/2 EB1 B1 F 设∠B1EF=θ(0°≤θ≤90°) ,则 EB1 = a cosθ,B1 F =a sinθ 故 EB1 B1 F = a2 sinθcosθ= 从而 ,当且仅当 sin 2θ=1 即θ=45°时等号成立.
∴p=1- V1/V≥
=7/8,当且仅当 sin 2θ=1 即θ=45°时等号成立.
所以,p 的最小值等于 7/8
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  21.本小题主要考察解三角形,二次函数等基础知识,考察推断论证能力,抽象概括能力, 运算求解能力,应用意识,考察函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (I)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则 S= =
=
故 t=1/3 时,S min = 即,小艇以 30
,v=
=30
海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小
(III) 设小艇与轮船在 B 处相遇 2 2 2 由题意可知,(vt) =20 +(30 t) -22030tcos(90°-30°), 化简得:v = +900 =400 由于 0<t≤1/2,即 1/t ≥2,
2
+675
所以当 =2 时,
1 t
v 取得最小值 10 13 ,
即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里/小时. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 v =
2
2
400 600 1 + 900 ,设 = u (u >
  0) , 2 t t t
2
于是 400u 600u + 900 v = 0 . (*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即:
2 2 600 1600(900 v ) > 0, 解得 15 3 < v < 30 . 2 900 v >
  0.
所以 v 的取值范围是 (15 3,
  30) . 解法二: (Ⅰ)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北 方向.
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设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt OAC 中, OC = 20 cos 30 = 10 3 ,
o
AC = 20 sin 30o = 10 .
又 AC = 30t , OC = vt 此时,轮船航行时间 t =
10 1 10 3 = ,v = = 30 3 . 1 30 3 3
即,小艇以 30 3 海里/小时的速度行驶,相遇时小艇的航行距离最小. (Ⅱ)同解法一 (Ⅲ)同解法一
  22. 本小题主要考察函数,导数等基础知识,考察推力论证能力,抽象概况能力,运算求解 能力,考察函数与方程思想,数形结合思想,化归与转换思想,分类与整合思想.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)由 f '( x ) = x 2 2 x + a 及题设得 (Ⅱ) (?)由 g ( x ) =
f '(
  0) = 3 a = 3 即 . f (
  0) = 2 b = 2
1 3 m x x 2 + 3x 2 + 3 x 1 m . ( x
  1) 2
得 g '( x ) = x 2 2 x + 3
Q g ( x) 是 [2, +∞) 上的增函数, ∴ g '( x) ≥ 0 在 [2, +∞) 上恒成立,
即 x2 2 x + 3
m ≥ 0 在 [2, +∞) 上恒成立. ( x
  1) 2
设 ( x
  1) 2 = t .
Q x ∈ [2, +∞),∴ t ∈ [1, +∞) ,
m ≥ 0 在 [1, +∞) 上恒成立 t m 当 m ≤ 0 时,不等式 t + 2 ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立. t
即不等式 t + 2
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当 m > 0 时,设 y = t + 2 因为 y ' = 1 +
m , t ∈ [1, +∞ ) t
m m > 0 ,所以函数 y = t + 2 在 [1, +∞) 上单调递增, 2 t t
因此 ymin = 3 m .
Q ymin ≥ 0,∴ 3 m ≥ 0 ,即 m ≤ 3 .
又 m > 0 ,故 0 < m ≤ 3 . 综上, m 的最大值为
  3. (?)由(?)得 g ( x) = 证明如下:
1 3 3 1 x x 2 + 3x 2 + ,其图像关于点 Q (1, ) 成中心对称. 3 x 1 3
Q g ( x) =
1 3 3 x x 2 + 3x 2 + 3 x 1 1 3 ∴ g (2 x) = (2 x)3 (2 x) 2 + 3(2 x) 2 + 3 2 x 1 1 8 3 = x3 + x 2 3x + + 3 3 1 x 2 因此, g ( x) + g (2 x) = . 3
上式表明,若点 A( x, y ) 为函数 g ( x) 在图像上的任意一点,则点 B (2 x,
2 y ) 也一定在函 3
数 g ( x) 的图像上.而线段 AB 中点恒为点 Q (1, ) ,由此即知函数 g ( x ) 的图像关于点 Q 成中 心对称. 这也就表明,存在点 Q (1, ) ,使得过点 Q 的直线若能与函数 g ( x ) 的图像围成两个封闭 图形,则这两个封闭图形的面积总相等. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) (?)

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七年级生物期末考试试卷含答案

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海南华侨中学2005年上期通用技术必修2模块测试题

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