2010届中考数学综合性专题复习资料1



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中考系列复习??综合性专题
一、中考要求
  1、知道中考综合性问题的常见题型;
  2、能灵活运用数学知识及相关学科的知识求解常见的综合性问题;
  3、通过本专题的复习,进一步提高综合运用知识发现、提出、分析和解决问题的能力. 知识网络图(如下图所示) 二、知识网络图 代 数 综 合 题 单 科 综 合 题 几 何 综 合 题 综 合 性 问 题 圆或三角函数的综合题 函数与方程的综合题
函数图象中的几何图形 代 数 几 何 综合 题 函数与几何综合题 几何图形中的函数关系
跨学科综合题
数学与理化的综合题
三、基础知识整理 本部分知识是中考的重点内容, 一道试题同时考查多个重要知识点 (含常用数学思想方 法)或多学科的知识已成为近几年中考命题的一大特色,压轴题更是以综合性面孔出现. 2004年全国各地中考试卷中,综合性问题平均占35\%,其中函数与几何问题占综合性问题的 七成左右. 综合性问题的题型以多种形式出现,以考查综合素质和创新能力为目标,与应用 性问题、开放性问题“联姻”者增多,一般不会出现繁、难、偏的试题,所用知识以重点知 识为主,而不会过分追求覆盖率,人为地刻意编造难题. 其中,考查的重点是代数(通常为函数、方程)与几何相综合的知识. 难点是不同知识 之间的联系与转化. 解题时,几乎用到初中涉及到的所有数学思想方法:方程与函数、转化 与化归、数形结合、分类讨论等数学思想,待定系数法、构造法、极端法等都经常用到. 考点分析(所有例题均出自 2004 年中考试题) 四、考点分析
  1、代数综合题 、 代数各知识点之间,以函数与方程的综合题为主,有时还可以与不等式的知识相结合, 用来确定自变量的取值范围. 函数与方程的综合题中,二者的联系表现在: (
  1)求函数值,或由函数值求自变量的问题,转化为相应的方程问题; (
  2)求函数的解析式,往往要根据题意列出方程或者方程组求解; (
  3)以x为自变量的函数y,其图象与x轴(y轴)的交点问题,即为求当y=0(x=
  0)时的方 程的解的问题; (
  4)两个函数图像的交点问题,就是由两个函数解析式组成的方程组的解的问题. 例
  1(福建南平)已知一次函数 y = - x + 4 与反比例函数 y = k / x 在同一直角坐标系内 的图象没有交点,则 k 的取值范围是( ) A.k>0; B.k<4; C.k> - 4; D.k>
  4. 分析:由两个函数解析式组成方程组,可得 k / x = - x +
  4. 分析
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2
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去分母,得 x ? 4x + k =
  0. 两个函数的图象没有交点,说明以上方程没有实数根,则 2 △ = (- 4 ) - 4 k = 16 ? 4k <
  0. 解得 k>
  4. 故选 D.
  2、几何综合题 、 几何知识大致可以分成直线形(包括线与角、三角形、四边形)、相似形、三角函数、 圆四个知识块,各知识块之间的联系较为密切,都能形成综合题. 其中,与圆或三角函数的 几何综合题为主. 对于几何各知识之间相结合形成的综合题, 既要能从复杂的图形背景中分 离出基本图形,又要善于发现各基本图形以及相关定理之间的联系. 例
  2(浙江宁波)如图
  1, PA 切⊙ O 于 A ,割线 PBC 经过圆心 O ,交⊙ O 于 B、C 两 点,若 PA = 4 , PB = 2 ,则 tan ∠P 的值为( ) A.
4 3
B.
3 4
C.
5 4
D.
5 3
A
C
O
B
P
图1
2 分析:由切割线定理,得 PA = PB?PC,则 4 = 2 PC,解得 PC =
  8,所以 分析 BC=PC-PB=8-2=
  6,OA = OB = BC/2 =
  3,PO = PB+OB = 2+3 =
  5. 连结 AO,由于 PA 切⊙ O 于 A ,所以∠OAP = 9
  00. 在 Rt△POA 中,OA = OP2 - AP2 = 3, tan ∠P = OA/AP = 3/
  4. 故选 B.
  3、代数与几何的综合题 、 代数与几何的综合题主要呈现两种主要类型: (
  1)在平面直角坐标系中,由图象构成的几何图形作为研究对象命题. 解此类问题, 数形结合思想是关键. 通常要求出特定点的坐标、特定线的解析式,利用函数的方法解决几 何问题. 另外,还需熟悉一些常用的解题思路,比如,求坐标系中几何图形的面积,常以一 条坐标轴作为底边,或通过坐标轴对图形进行割(补)构造,使之转化为便于求解的面积问 题. (
  2)以几何为主要载体,借助函数与方程的数学思想方法,研究几何元素间的数量关 系. 求几何图形中的函数解析,通常根据相似形或圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其 推论)的知识,列出含有变量的等式,然后转化为函数解析式的形式. 自变量的取值范围一 般由图形存在的极端情况来确定最大值或最小值. 对于“动点型”的综合题,要学会化动为 静,静中求解,动中检验. 2
直线 y = kx + 4 与函数 y = m / x ( x > 0, m >
  0) 的图象交于 例 3 (江苏连云港) 如图
  2, A、B 两点,且与 x、y 轴分别交于 C、D 两点. (
  1)若 ?COD 的面积是 ?AOB 的面积的 2 倍,求 k 与 m 之间的函数关系式;
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  2)在(
  1)的条件下,是否存在 k 和 m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P (2,
  0) .若存 在,求出 k 和 m 的值;若不存在,请说明理由.
C
A
B O M P N D
图2 分析:设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) (其中 x1 < x 2 , y1 > y 2 ), 分析 由 S ?COD = 2 S ?AOB ,得 S ?COD = 2 ( S ?AOD ? S ?BOD ) ∴
1 1 1 ? OC ? OD = 2 ( ? OD ? y1 ? ? OD ? y 2 ), OC = 2 ( y1 ? y 2 ) , 2 2 2
又 OC = 4 ,∴ ( y1 ? y 2 ) 2 = 8 ,即 ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 8 , m m 由 y = 可得 x = ,代入 y = kx + 4 可得 y 2 ? 4 y ? km = 0 x y ∴ y1 + y 2 = 4 , y1 ? y 2 = ?km , 2 ∴ 16 + 4km = 8 ,即 k = ? . m 又方程①的判别式 ? = 16 + 4km = 8 > 0 ,

2 ( m >
  0) . m (
  2)假设存在 k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P (2,
  0) . 则 AP ⊥ BP ,过 A 、 B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 、 N . ∵ ∠MAP 与 ∠BPN 都与 ∠APM 互余,∴ ∠MAP = ∠BPN . AM MP ∴Rt ?MAP ∽Rt ?NPB ,∴ = . PN NB y1 2 ? x1 m m ,∴ ( x1 ?
  2)( x 2 ?
  2) + y1 y 2 = 0 , ∴ ( ?
  2)( ∴ = ?
  2) + y1 y 2 = 0 , x2 ? 2 y2 y1 y2
∴所求的函数关系式为 k = ? 即 m 2 ? 2m( y1 + y 2 ) + 4 y1 y 2 + ( y1 y 2 ) 2 = 0 ②
由(
  1)知 y1 + y 2 = 4 , y1 ? y 2 = 2 ,代入②得 m 2 ? 8m + 12 = 0 , ?m = 2 ? m = 6 2 ?
  1, ∴ m = 2 或 6 ,又 k = ? ,∴ ? 或? m ?k = ?1 ?k = ? 3 ?
?m = 2 ? m = 6 ?
  1. ∴存在 k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P (2,
  0) ,且 ? 或? ?k = ?1 ?k = ? 3 ?

  4(北京石景山)已知:如图
  3,等边△ABC 中,AB、cosB 是关于 x 的方程
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x 2 ? 4mx ?
1 x + m 2 = 0 的两个实数根. 若 D、 分别是 BC、 上的点, E AC 且∠ADE=60°, 2
设 BD=x,AE=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 y 的最小值.
图3 分析: (
  1)∵△ABC 是等边三角形 ∴ cos B = cos 60° =
1 2
1 1 ? ? AB + 2 = 4m + 2 ? ∴? ? 1 AB = m 2 ?2 ?
解得: m1 = 0, m 2 = 2 ∵
1 AB = m 2 ≠ 0 2
∵m=0 不合题意,舍去 ∴m=2 即 AB=8 (
  2)∵∠ADE=60° ∴∠ADB+∠CDE=120° 又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120° ∴∠BAD=∠CDE 又∵∠B=∠C=60° ∴△ABD∽△DCE ∴
AB BD = DC CE 8 x = 8? x 8? y 1 2 1 x ? x + 8 = ( x ?
  4) 2 + 6 8 8
设 BD=x,EA=y 则 DC=8-x,CE=8-y ∴
∴y=
∴当 BD=
  4,即 D 为 BC 的中点时,EA 有最小值
  6.
  4、跨学科综合题 、 跨学科的综合题中,与物理相结合得最多,另外与化学、地理、生物、医药、政治等学 科的综合题也时常出现. 多数跨学科试题中, 所用的其他学科专业知识很少或者是最基本的. 解题时,主要是运用相关学科中的基本公式或原理分析各种现象. 例
  5(湖北宜昌)天象图片欣赏:
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如图4-1是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程.
图4-1 数学问题解决: 用数学的眼光看图 4-
  1,可以认为是地球、月球投影(两个圆)的位置关系发生了从外切、 相交到内切的变化:2 时 48 分月球投影开始进入地球投影的黑影(图 4-
  2);接着月球投影沿 直线 OP 匀速地平行移动进入地球投影的黑影(图 4-
  3);3 时 52 分,这时月球投影全部进入 地球投影的黑影(图 4-
  4). 设照片中的地球投影如图 2 中半径为 R 的大圆⊙O, 月球投影如图 2 中半径为 r 的小圆 ⊙P.求这段时间内圆心距 OP 与时间 t(分)的函数关系式,写出自变量的取值范围.
R
O P
r
O
P
图 4-2
图 4-3
图 4-4
分析:从 2 时 48 分到 3 时 52 分共 64 分钟,点 P 运动的路程为 2r, 分析 ∴点 P 运动的速度为:
2r r ,即 , 64 32 r t, 32
∴P 点 t 分钟运动的路程为: ∴OP=R+r?
r t, 分)(0≤t≤
  64) (6 , 32
五、创新题一隅
  1、 如图 5-
  1, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, 顶点 A 的坐标是 (
  0, ,
  2) 一次函数 y = x + t 的图象 l 随 t 的不同取值变化时,位于 l 的右下方由 l 和正方形的边围成的图形面积为 S (阴 影部分). ⑴当 t 何值时, S =
  3? ⑵在平面直角坐标系下(图 5-
  2) ,画出 S 与 t 的函数图象.
图 5-1
图 5-2

  2、如图
  6,在平面直角坐标系内,Rt△ABC 的直角顶点 C(
  0, 3 )在 y 轴的正半轴上, A、B 是 x 轴上是两点,且 OA∶OB=3∶
  1,以 OA、OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E,交 BC 于 点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q.
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y E C Q F A O1 O O2 B x
图6 求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; 请猜想:直线 EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想. 在△AOC 中,设点 M 是 AC 边上的一个动点,过 M 作 MN∥AB 交 OC 于点 N.试问:在 x 轴 上是否存在点 P,使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案: 参考答案:
  1、分析:⑴设 l 与正方形的边 AD、CD 相交于 M、N,易证 Rt△DMN 是等腰三角形,只 有当 MD= 2 时,△DMN 的面积是
  1,求得 t = 4 ? 2 . 容易验证,此时的 S=
  3. ∴当 t = 4 ? 2 时,S=
  3. ⑵当 0 ≤ t < 2 时, S =
1 2 t ; 2 1 (t ?
  4) 2 + 4 ; 2
当 2 ≤ t < 4 时, S = ?
当 > 4 时, S = 4 . 根据以上解析式,作图如下(图
  7)
图7
  2、(
  1)在 Rt△ABC 中,OC⊥AB, ∴△AOC≌△COB. 2 ∴OC =OA?OB. ∵OA∶OB=3∶1,C(0, 3 ), ∴ (
  3) 2 = 3OB iOB. ?OB ∴OB=
  1.∴OA=
  3. ∴A(-3,
  0),B(1,
  0). 设抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx + c.
?9a ? 3b + c = 0, ? 则 ?a + b + c = 0, ? ?c =
  3.
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? 3 , ?a = ? 3 ? 2 ? 3, 解之,得 ?b = ? 3 ? ?c =
  3. ? ?
∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y = ?
3 2 2 x ? 3 x +
  3. x 3
(
  2)EF 与⊙O
  1、⊙O2 都相切. 证明:连结 O1E、OE、OF. ∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°, ∴四边形 EOFC 为矩形. ∴QE=QO. ∴∠1=∠
  2. ∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°, ∴EF 与⊙O1 相切. 同理:EF 理⊙O2 相切. (
  3)如图
  8,作 MP⊥OA 于 P,设 MN=a,由题意可得 MP=MN=a. y
E
M 3 1 2 4 N Q
C F O2 B x
A
O1 P O
图8 ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO.
MN CN = . ∴ AO CO

a 3 ?a = . 3 3 3 3 ?3 . 2 3 3 ?3 . 2
解之,得 a =
此时,四边形 OPMN 是正方形. ∴ MN = OP = ∴ P(?
3 3 ?3 ,
  0). 2
考虑到四边形 PMNO 此时为正方形, ∴点 P 在原点时仍可满足△PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故 x 轴上存在点 P 使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形, 且 P(?
3 3 ?3 ,
  0) 或 P (0,
  0). 2
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