2009年全国高考文科数学试题及答案-天津卷



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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 数学(文史类)
参考公式: 参考公式: .如果事件 A,B 互相排斥,那么 P(AUB)=P(A)+P(B). , 互相排斥, ( ) ( ) . 表示棱柱的底面积, .棱柱的体积公式 V=sh.其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 .
  1. i 是虚数单位, 是虚数单位,
5i = 2i A 1 + 2i B 1 2i
C
1 2i D 1 + 2i
【答案】D 答案】 【解析】由已知, 解析】由已知,
5i 5i (2 + i ) = = 2i 1 2 i (2 i )(2 + i )
【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算. 考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算.
x + y ≥ 3
  2.设变量 x,y 满足约束条件 x y ≥ 1 ,则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为 设变量 2 x y ≤ 3
A 6 B 7 C8 D 23 答案】 【答案】B 解析】由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点( , )( )(1, ) 【解析】由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点(2,
  1)( ,
  2) 的平行直线,当过其中点( , ) ),那么作一系列平行于直线 (4,
  5),那么作一系列平行于直线 2 x + 3 y = 0 的平行直线,当过其中点(2,
  1)时,目 , ), 标函数最小. 标函数最小. 考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力. 【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.
  3.设 x ∈ R, 则"x = 1 . "是"x 3 = x" 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 答案】 【答案】A D 既不充分也不必要条件
3 显然条件的集合小,结论表示的集合大, 【解析】 因为 x = x, 解得x = 0,1,1 ,显然条件的集合小,结论表示的集合大,由集合的 解析】
包含关系,我们不难得到结论. 包含关系,我们不难得到结论. 考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题.考查逻辑推理能 【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题.考查逻辑推理能 力.
  4.设双曲线 . 为( ) A y = ± 2x 【答案】C 答案】 B y = ±2 x C y=±
x2 y2 = 1(a > 0, b >
  0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 , a2 b2
2 x 2
Dy=±
1 x 2
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解析】 【解析】由已知得到 b = 1, c = 近线方程为 近线方程为 y = ±
3 , a = c 2 b 2 = 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐 轴上,
b 2 x=± x a 2
【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用.考察了同学们的运算能力和推理 考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用. 能力. 能力.
  5.设 a = log 1 2, b = log 1 3, c = ( ) 设
3 2
1 2

  0.3
,则
A a<b<c B a<c<b 答案】 【答案】B
C b<c<a
D b<a<c
【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a < 0,0 < c < 1 ,而 b = log 2 3 > 1 , 解析】 因此选 B. . 考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用, 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本 的运算能力 算能力. 的运算能力.
  6.阅读右面的程序框图,则输出的 S= 阅读右面的程序框图, 阅读右面的程序框图 A 14 B 20 C 30 D 55
【答案】C 答案】 解析】 循环下去, 【解析】当 i = 1 时, S=1;当 i=2 时, S=5;循环下去,当 i=3 时, S=14; 当 循环下去 ; 当 i=4 时,S=30; ; 考点定位】本试题考查了程序框图的运用. 【考点定位】本试题考查了程序框图的运用.
  7. 已知函数 f ( x ) = sin( wx +
π
4
)( x ∈ R, w >
  0) 的最小正周期为 π , 将
y = f (x) 的图像向左平移 | | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 的一个值是( ) 个单位长度, 轴对称, 的一个值是(
A 【答案】D 答案】 【解析】由已知,周期为 π = 解析】由已知,
π
2
B
3π 8
C
π
4
D
π
8
sin[2( x + ) +
π
4
2π , w = 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数, 则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数 式和诱导公式可知平移后是偶函数, w
] = ± cos 2 x ,故选 D
【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运 考点定位】 用.
  8. 设函数 f ( x) =
x 2 4 x + 6, x ≥ 0 的解集是( 则不等式 f ( x ) > f (
  1) 的解集是( ) x + 6, x < 0
B ( 3,
  1) ∪ ( 2,+∞)
A
(3,
  1) ∪ (3,+∞)
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C (1,
  1) ∪ (3,+∞)
D (∞,
  3) ∪ (1,
  3)
【答案】A 答案】 解析】由已知, 【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ≥ 0 , f ( x ) ≥ 2 f (
  1) = 3 令 f ( x ) = 3, 解得 x = 1, x = 3 . 当 x < 0 , x + 6 = 3, x = 3 故 f ( x ) > f (
  1) = 3 ,解得 3 < x < 1或x > 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用.以及一元二次不等式的求解. 考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用.以及一元二次不等式的求解.
  9. 设 x, y ∈ R, a > 1, b > 1, 若a x = b y = 3, a + b = 2 3 , 则
1 1 + 的最大值为 x y
A
2
B
3 2
C
1
D
1 2
1 1 a+b 2 + = log 3 ab ≤ log 3 ( ) =1 x y 2
【答案】C 答案】 【解析】因为 a = b = 3, x = log a 3, y = log b 3 , 解析】
x y
【考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变 考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变 通能力. 通能力.
2
  10. 设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f'(x),且 2f(x)+xf'(x)>x ,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 在 且
A f ( x) > 0
B f ( x) < 0
C
f ( x) > x
D f ( x) < x
【答案】A 答案】 解析】由已知, 【解析】由已知,首先令 x = 0 ,排除 B,D.然后结合已知条件排除 C,得到 A , . 得到 考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点, 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点,考查 了分析问题和解决问题的能力. 了分析问题和解决问题的能力. 个小题, 把答案填写在题中的横线上.) 二,填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上.) 填空题(
  11. 如图, AA1与BB1 相交与点 O, AB // A1 B1 且 AB = 如图, 则 A1OB1 的外接圆直径为 的外接圆直径为. 接圆直径为 【答案】2 答案】 由正弦定理可以知道, 【解析】 解析】 由正弦定理可以知道,
1 A1 B1 ,若 AOB 得外接圆直径为 1, , 2
AB AB = 2r = 1, 1 1 = 2 R, A1 B1 = 2 AB ,所以 A1OB1 的 所以 sin O sin O
外接圆半径的二倍. 外接圆半径是 AOB 外接圆半径的二倍.
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考点定位】本试题考查了正弦定理的运用. 【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用.以及三角形中外接圆半径与边角的关系式 运用.考察了同学们对于新问题的转化化归思想. 运用.考察了同学们对于新问题的转化化归思想.

  12. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=. 如图是一个几何体的三视图, 【答案】 3 答案】 【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱,两个底面是等腰的三角 解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱, 形,且底边为 2,等腰三角形的高位 a,侧棱长为 3,结合面积公式可以得到
V = sh =
1 × 2 × a × 3 = 3 3 ,解得 a= 3 2
【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间想象能力和 考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用. 基本的运算能力. 基本的运算能力.
  13. 设全集 U = A ∪ B = x ∈ N * | lg x < 1 ,若 A ∩ CU B = {m | m = 2n + 1, n = 0,1,2,3,4}, 则集合 B=. 答案】 , , , 【答案】{2,4,6,8} 【解析】 U = A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ∩ CU B = {1,3,5,7,9} B = {2,4,6,8} 解析】 【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力. 考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力.
  14. 若圆 x 2 + y 2 = 4 与圆 x 2 + y 2 + 2ay 6 = 0( a >
  0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a=. 【答案】1 答案】 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y = 解析】由已知,
{
}
1 利用圆心( , ,利用圆心(0, a
1 | 2
  0)到直线的距离 d = a 为 2 2 3 = 1 ,解得 a=1 ) 1 |
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用.考察 考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用. 了同学们的运算能力和推理能力. 了同学们的运算能力和推理能力.
  15. 若 等 边 ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM =

1 → 2 → CB + CA , 则 6 3
MA MB = .
【答案】-2 答案】


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【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C (0,
  0), A( 2 3 ,
  0), B ( 3 ,
  3) 解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形, 建立直角坐标系
→ 3 3 1 3 1 → 3 5 , ) ,然后求得 MA = ( , ), MB = ( , ) ,运 2 2 2 2 2 2
这样利用向量关系式, 这样利用向量关系式,求得 M (
用数量积公式解得为-
  2. 用数量积公式解得为 考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用.也体现了向量的代数化手段的 重要性.考查了基本知识的综合运用能力. 重要性.考查了基本知识的综合运用能力.
2 2
  16. 若关于 x 的不等式 ( 2 x
  1) < ax 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是
. 【答案】 ( 答案】
25 49 , ) 9 16
2 2 【解析】因为不等式等价于 ( a +
  4) x 4 x + 1 < 0 ,其中 ( a +
  4) x 4 x + 1 = 0 中的 解析】
= 4a > 0 , 且 有 4 a > 0 , 故 0 < a < 4 , 不 等 式 的 解 集 为
1 2+ a
<x<
1 2 a
,
1 1 1 1 < < 则一定有 1,2,3 为所求的整数解集.所以 3 < < 4 ,解得 a 的范围 , , 为所求的整数解集. 4 2+ a 2 2 a
为(
25 49 , ) 9 16
【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用.考查了分类讨 考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用. 论思想以及逆向思维的能力. 论思想以及逆向思维的能力. 三,解答题
  17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中, BC = 的值. (Ⅰ)求 AB 的值. (Ⅱ)求 sin( 2 A
5 , AC = 3, sin C = 2 sin A
π
4
) 的值. 的值.
【答案】 答案】
2 10
中,根据正弦定理,
【 解 析 】 ( 1 ) 解 : 在 ABC
AB BC = ,于是 sin C sin A
AB = sin C
BC = 2 BC = 2 5 sin A AB 2 + AC 2 BC 2 2 AB AC
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根据余弦定理, (
  2)解:在 ABC 中,根据余弦定理,得 cos A = )
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于是 sin A = 1 cos A =
2
5 , 5
4 3 , cos 2 A = cos 2 A sin 2 A = 5 5
从而 sin 2 A = 2 sin A cos A =
sin(2 A
π
4
) = sin 2 A cos
π
4
cos 2 A sin
π
4
=
2 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦 考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式, 和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力. 和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力.
  18. (本小题满分 12 分) 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况, 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中 , 个工厂进行调查, 抽取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂 , , , 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; 个进行调查结果的对比, (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 区的概率. 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 【答案】(
  1) 2,3,2(
  2) 答案】 , ,
11 21 7 1 = , 63 9
【解析】(
  1) : 工厂总数为 18+27+18=63, 解析】 ) 解 , 样本容量与总体中的个体数比为 所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,
  2. , ,
个工厂, B 个工厂, C (
  2) A1 , A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂, 1 , B2 , B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, 1 ,C 2 ) 设 个工厂, 全部的可能结果有: 为在 C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有:C 7 种,随 机 的 抽 取 的 2 个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自 A 区 的 结 果 有 ( A1 , A2 ) ,
2
( A1 , B2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B3 ) ( A1 , C 2 ) ( A1 , C1 ) ,同理 A2 还能组合 5 种,一共有 11 种.所以所求 同理
的概率为
11 11 = C 72 21
【考点定位】本小题主要考查分层抽样,用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件 考点定位】本小题主要考查分层抽样, 发生的概率等基础知识,考查运用统计,概率知识解决实际问题的能力. 发生的概率等基础知

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