2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷(八年级)附答案



2009 年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷(八年级) (2009 年 3 月 22 日上午
  9:00~
  11:
  30) 一、选择题(本大题共 6 小题,每个小题 7 分,满分 42 分) ,每小题均给出四个 选项,其中有且仅有一个正确的选项,请将正确的选项的代号填在下表指定的位 置 题号 正确选项
  1、已知三点 A(2,
  3),B(
  5,
  4),C(-
  4,
  1)依次连接这三点,则 A、构成等边三角形 C、构成锐角三角形 B、构成直角三角形 D、三点在同一直线上 ) 1 2 3 4 5 6 得分

  2、边长为整数,周长为 20 的三角形个数是( A、4 个 B、6 个 C、8 个 D、12

  3、N=31001+71002+1310
  03,则 N 的个位数字是( A、3 B、6 C、9 D、0


  4、P 为正方形 ABCD 内一点,若 PA:PB:PC=
  1:
  2:
  3,则∠APB 的度数为( A、120° B、135° C、150° D、以上都不对

a2+1 1 1
  5、在函数 y= - x (a 为常数)的图象上有三点: (-
  1,y
  1) 4 ,y
  2) 2 ,y
  3) (( , 则函数值 y
  1,y
  2,y3 的大小关系是( A、y
  1<y
  2<y3 B、y
  3<y
  2<y1 ) D、y
  2<y
  1<y3 )
C、y
  3<y
  1<y2
a+b b+c a+c
  6、已知 a+b+c≠
  0,且 c = a = b =p,则直线 y=px+p 不经过( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 7 分,满分 28 分)请将正确答案填在下 表的指定位置 2a5-6a4+2a3-a2-1
  7、如果 a 是方程 x2-3x+1=0 的根,那么分式 的值是 3a ;

  8、甲乙两个机器人同时按匀速进行 100 米速度测试,自动记录仪表明:当甲距 离终点差 1 米,乙距离终点 2 米;当甲到达终点时,乙距离终点
  1.01 米,经过 计算,这条跑道长度不标准,这这条跑道比 100 米多
  9、根据图中所标的数据,图中的阴影部分的面积是 ; ;

  10、有三个含有 30°角的直角三角形,它们的大小互不相同,但彼此有一条边 相等,这三个三角形按照从大到小的顺序,其斜边的比为 ;
三、解答题(本大题共有 3 小题,第 11 小题 20 分,第
  12、13 小题各 25 分,满 分 70 分)
  11、已知△ABC 是等边三角形,E 是 AC 延长线上一点,选择一点 D,使得△CDE 是等边三角形,如果 M 是线段 AD 的中点,N 是线段 BE 的中点, 求证:△CMN 是等边三角形

  12、已知 n 是大于 1 的整数 求证:n3 可以写出两个正整数的平方差
2 1
  13、已知正整数 x、y 满足条件: x +y =a, (其中,a 是正整数,且 x<y) 求x和y
1 7 答案:
  1:解:AB 的解析式为 y=3 x+3 ;当 x= -4 时,y=
  1,即点 C 在直线 AB 上,∴选 D
  2. 解 设三进行三边为 a、b、c 且 a≥b≥c,a+b+c=
  20, ? a≥
  7, 又 b+c>a,2a<20 ? a<
  10,又 7≤a≤
  9,可列出(a、b、c) 有: (
  9,
  9,
  2) (
  9,
  8,
  3) (
  9,
  7,
  4) (
  9,
  6,
  5) (
  8,
  8,
  4) (
  8,
  7,
  5) (
  8,
  6,
  6) (
  7,
  7,
  6)共八组,选 C
  3. 解 31001 的个位数字为
  3,71002 的个位数字为
  9,131003 的个位数字为
  7,∴N 的各位数字 为
  9,选 C
  4. 解:过 P 作 BP’⊥BP,且使 BP’=BP,连 P’A 易得△P’AB≌△PBC,则 P’A=PC,设 PA=k,则 PB=2k, PC=P’A=3k,连 PP’,则 Rt△PBP’中,∠P’PB=45° 且 PP’=2 2 k,在△P’AP 中有:P’A2=P’P2+PA2, ∴∠P’PA=90°,∴∠APB=135° 选 B
  5. ∵-(a2+
  1)<
  0,∴在每个象限,y 随 x 的增大而增大,因此 y
  1<y2 1 又∵(-
  1,y
  1)在第二象限,而(2 ,y
  3)在第四象限,∴y
  3<y1 选C
a + b = cp ? ? 2( a + b + c ) = p ( a + b + c ) ?
  6. 解 a + c = ap ? ? ?? p = 2 ? ? a+b+c ≠ 0 c + a = bp ?
因此,直线 y=px+p 不可能通过第四象限,选 D 2a3(a2-3a+
  1)-(a2+
  1) a2+1
  7. 解 根据题意 a2-3a+1=
  0,原式= =- 3a =-
  1,∴填-1 3a
  8. 解 设跑道实际长为 x 米,甲、乙两位机器人的速度分别为 v 甲,v 乙,甲距离终点 1 米时 v甲 x-1 说花的时间为 t,v 乙?t=x-
  2,于是 =x-2 v乙 又设甲到达终点时所花的时间为 t’则 v 甲?t’=x,v 乙?t’=x-
  1.01 v甲 x x-1 x 于是 =x-
  1.01 ,因此可得方程x-2 =x-
  1.01 ,解得 x=101 米, v乙 因此,这条跑道比 100 米多 1 米,填 1
  9. 解 有对称性可知 5 个三角形中的面积为 S0=S’0, S1=S’1, S0 3 且S =2 即 2S0=3S1, 1 15 15 25 45 又 2S0+S1= 2 即 3S1+ S1= 2 , S1= 8 S0=16
25 又 S2+S1=2,∴S2=5-S1= 8
25 填8
2 3
  10. 解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦,则三者的弦分别为
  2, 3 ,1 2 3 2 3 即所求比为
  2: 3 :
  1,填
  2: 3 :1
  11. 证明:∵△ACD≌△BCE ∴AD=BE,AM=BN 又∵△AMC≌△BNC ∴CM=CN,∠ACM=∠BCN 又∠NCM=∠BCN-∠BCM ∠ACB=∠ACM-∠BCM ∴∠NCM=∠ACB=60° ∴△CMN 是等边三角形 ……20 分 ……12 分 ……6 分
n
  12. 证明:n3=(2 )2?4n ……8 分 n =(2 )2[(n+
  1)2-(n-
  1)2] ……15 分
n n =[2 (n+
  1)]2-[2 (n-
  1)]2 ……20 分 ∵n(n+
  1) ,n(n-
  1)不仅大于
  1,而且均能被 2 整除 n n ∴2 (n+
  1),2 (n-
  1)均为正整数;因此,命题得证 2 1 1 1
  13. 解 ∵x≥
  1,y≥
  2,x +y ≤2+2 ,即 a≤22 因此 a=1 或 a=2 2 1 1 当 a=1 是,x +y =
  1,若 x=
  1,则y =-
  1,与 y 是正整数矛盾,∴x≠
  1, 1 若 x=
  2,则y =
  0,与 y 是正整数矛盾,∴x≠2 2 1 2 1 2 1 若 x≥
  3,则x +y ≤3 +4 <
  1,与x +y =1 矛盾,∴x<3 综上所述,a≠1 2 1 1 当 a=2 时有x +y =
  2,若 x=
  1,则y =
  0,与 y 是正整数矛盾,∴x≠1 2 1 2 1 2 1 若 x≥
  3,则x +y ≤3 +4 ,与x +y =2 矛盾,∴x<3 因此
  1<x<
  3,∴x=
  2,y=1 ……25 分

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