2009年高考试题全国卷1(数学理)含答案



2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+ 理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分. 。卷 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 2 页,第错误! 卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第 Ⅰ卷
考生注意: .答题前, 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 考生注意:
  1.答题前,考生在答题卡上务必用
  0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号、 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
  2.每小题选出答案后,用
  2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 .每小题选出答案后, B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
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橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
.........
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  3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 . 小题, 在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的. 合题目要求的.
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参考公式: 参考公式:天星教育网 tesoon 如果事件 A,B 互斥,那么
球的表面积公式
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P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么
S = 4πR 2
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其中 R 表示球的半径 球的体积公式
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P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么
V=
4 3 πR 3
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n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k (k =
  0,
  2, ,n) 1, L 一、选择题
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其中 R 表示球的半径
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(
  1)设集合 A={
  4,
  5,
  7,
  9} ,B={
  3,
  4,
  7,
  8,
  9} ,全集 U=A U B,则集合 [ u ( A 素共有 (A)3 个
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I
B) 中的元
(B)4 个
(C)5 个
(D)6 个
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  2)已知
Z =2+i,则复数 z=
  1+i
(B)1-3i
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(A)-1+3i (
  3) 不等式
(C)3+i
(D)3-i
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X +1 <1 的解集为 X ?1
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(A) 0? x ?1} {x
U{ x x? 1}
(B) x 0? x ?1} (D) x x? 0}
{
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(C) { x ?1 ? x? 0}
{
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-1-
(
  4)设双曲线 等于
x2 y2 ? 2 =
  1(a>0,b>
  0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率 2 a b
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(A) 3
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(B)2
(C) 5
(D) 6
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(
  5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
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  6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a ? b =
  0,则 ( a ? c ) ? ( b ? c ) 的最小值为 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2
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  7)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为
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(A)
3 4
(B)
5 4
(C)
7 4
(D)
3 4
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  8)如果函数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的图像关于点 ? (A)
? 4π ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?
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π
6
(B)
π
4
(C)
π
3
(D)
π
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2
(
  9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y = ln( x + a ) 相切,则α的值为 (A)1
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(B)2
(C) -1
(D)-2
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  10)已知二面角α-l-β为 60
o
,动点 P、Q 分别在面α、β内,P 到β的距离为 3 ,Q 到
α的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) 2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

  11)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x +
  1) 与 f ( x ?
  1) 都是奇函数,则 (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x ) = f ( x +
  2) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x +
  3) 是奇函数

  12.已知椭圆 C :
x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 2
-2-
uuu r uuu r uuuu r FA = 3FB ,则 | AF | =
A.
2
B. 2
C. 3
D. 3
2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
第 II 卷
注意事项: 注意事项:
  1. 答题前,考生在答题卡上务必用直径
  0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚,并贴好条形码,请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
  2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选题其他答案标号,在试卷上作答无效。
  3. 第 II 卷共 10 小题,共 90 分。 填空题: 小题, 把答案填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。
注意: (注意:在试题卷上作答无效) ............
10

  13.
( x ? y)
的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于
。 。

  14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 =
  15. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若
AB = AC = AA1 = 2 , ∠BAC = 120° ,则此球的表面积等于

  16. 若
。 。
π
4
<x<
π
2
,则函数 y = tan 2 x tan 3 x 的最大值为
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题:
  17(本小题满分 10 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:
............
在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c = 2b ,且
2 2
sin A cos C = 3cos A sin C , 求 b

  18(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:
.............
2
如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ⊥ 底面 ABCD , AD =
-3-
DC = SD = 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ∠ABM =60° (I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

  19(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:
.............
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假 设在一局中,甲获胜的概率为
  0.
  6,乙获胜的概率为
  0.
  4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (II)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 得分布列及数学期望。

  20(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: 在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (I)设 bn =
.............
1 n n +1 2n
an ,求数列 {bn } 的通项公式 n
(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

  21(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:
.............
如图,已知抛物线 E : y 2 = x 与圆 M : ( x ?
  4) 2 + y 2 = r 2 ( r >
  0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D
-4-
四个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

  22. 本小题满分 12 分。 注意:在试题卷上作答无效) (注意:
3 2
.............
0], 设函数 f ( x ) = x + 3bx + 3cx 在两个极值点 x
  1、x2 ,且 x1 ∈ [ ?
  1, x1 ∈ [1, 2].
(I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出 满足这些条件的点 ( b, c ) 的区域; (II)证明: ?10 ≤ f ( x2 ) ≤ ?
1 2
-5-
-6-
-7-
-8-
-9-
- 10 -

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