2005年初三数学竞赛试题



2005 年初三数学竞赛试题 年初三
一,选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,将正确答案的序号填入题后的括号内,每 小题 2 分,共 20 分)
  1.下列各式中,最简二次根式为( ) A. B. C.
a 6
D.

  2.方程(x+
  1)x=0 的根是( ) A.x1=1,x2=0 B.x1=-1,x2=1
C.x1=-1,x2=0
D.x1=x2=0

  3.如图,PA,PB 分别切⊙O 于 A,B,点 C 为优弧
上一点,∠ACB=60°,则∠APB 的度数是( )
A.60° B.120° C.30°或 120° D.30° 2
  4.二次函数 y=-x -4x+2 的顶点坐标,对称轴分别是( ) A.(-2,
  6),x=-2 B.(2,
  6),x=2 C.(2,
  6),x=-2 D.(-2,
  6),x=2
  5.已知 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,且 AB=2A′B′,则 sinA 与 sinA′的关系为( ) A.sinA=2sinA′ B.2sinA=sinA′ C.sinA=sinA′ D.不确定
  6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中,能作平面镶嵌的组合是( )

  7.如图, P 是 x 轴正半轴上的一个动点, 点 过点 P 做 x 轴的垂线 PQ 交双曲线 y=
1 于 x
点 Q,连结 OQ,当点 P 向右运动时,Rt△QOP 的面积( ) A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法确定 2
  8.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 和 m,圆心距为 n,且 2 和 m 都是方程 x -10x+n=0 的两根,则两圆的位置关系是( ) A.相交 B.外离 C.内切 D.外切
  9.将某氢氧化钠溶液加水,则描述溶液 pH 值与加水量(m)间变化规律的图象大致是( )

  10.如图, 是⊙O 的弦, 是 AB 的三等分点, AB C 连结 OC 并延长交⊙O 于点 D. OC=3, 若 CD=2,则圆心 O 到弦 AB 的距离是( ) A.6 2 B.9- 2 C. 7 D.25-3 2
二,填空题(每小题 2 分,共 20 分)
  11.已知点 P(-3,
  2),点 P′是点 P 关于原点的对称点,则点 P′的坐标是.
  12.如果把一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开, 展开在一个平面上, 那么它的展 开图是一个形.

  13.函数
的自变量 x 的取值范围是.

  14.方程组
的解是 .

  15.正六边形的半径为 1cm,它的边心距等于cm. 2
  16.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,那么直线 y=bx+c 不经过第象限.
  17.已知圆的直径为 13cm,圆心到直线 l 的距离为 6cm,那么直线 l 和这个圆的公共点的个数有 个.
  18.已知 5x -xy-6y =0,则
2 2
y 的值为. x

  19.△ABC 内接于⊙O,D 是 BC 边上的中点,若∠ABC+∠DAC=90°,则△ABC 是三角形.
  20.如图,等边△ABC 边长为 10cm,以 AB 为直径的⊙O 分别交 CA,CB 于 D, 2 E 两点,则图中阴影部分的面积(结果保留 π)是cm . 三,(第 21 小题 8 分,第 22 小题 10 分,共 18 分)

  21.当 x=2 2 时,求
的值.

  22.已知线段 AB 是⊙O 的弦, P 是优弧 点 (
  1)画图并证明:当点 P 在优弧 (
  2)当点 P 在优弧
上一个动点(P 不与 A, 重合), B 直线 l 是∠APB 的平分线.
上运动时,∠APB 的平分线 l 过定点 Q;
上运动时,△APQ 的面积能否取得最大值,如果能,请用尺规作图确定点 P 在⊙O
上的位置;如果不能,请说明理由.
四,(10 分)
  23.在某文具商场中,每个画夹定价为 20 元,每盒水彩定价为 5 元.为促进销售,商场制定两种优惠 方案:一种是买一个画夹赠送一盒水彩;另一种是按总价 92\%付款.一个美术教师欲购买画夹 4 个,水彩 若干盒(不少于 4 盒). (
  1)设购买水彩数量为 x(盒), 付款总金额为 y(元), 分别建立两种优惠方案中的 y 与 x 的函数关系式; (
  2)如果购买同样多的水彩,哪种方案更省钱?
五,(10 分)
  24.如图,湖心岛上有一凉亭,现欲利用湖岸边的开阔平整地带,测量凉亭顶端到湖面所在平面的高 度 AB(见示意图),可供使用的工具有测倾器,皮尺. (
  1)请你根据现有条件,设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度 AB 的方案,画出测量方案的平 面示意图,并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用 m,n,…表示,角用 α,β,…表示,测倾器高度忽 略不计); (
  2)根据你所测量的数据,计算凉亭到湖面的高度 AB(用字母表示).
六,(11 分)
  25.如图,已知 A 为优弧 (
  1)求证:AE=BE+CE (
  2)试猜想,当点 E 在优弧 中点,且 AB=BC,E 为劣弧 上一点.
上运动时,线段 AE,BE,CE 之间具有怎样的关系,画图并证明你的猜想.
七,(11 分)
  26.甲,乙两辆公共汽车分别自 A,B 两地同时出发,相向而行.甲车行驶 85 千米后与乙车相遇,然 后继续前进.各车到达对方的出发点等候 30 分钟立即依原路返回.当甲车行驶 65 千米后又与乙车相遇, 求 A,B 两地距离.
参考答案 一,选择题(20 分)
  1.B
  2.C
  3.A 二,填空题(20 分)
  4.A
  5.C
  6.C
  7.C
  8.B
  9.A
  10.C

  11.(3,-
  2)

  12.扇

  13.0≤x≤6, x≠4 且

  14.x=4, y=-1; x=-1, 或 y=4

  15.

  16.


  17.2 三,
  21.(8 分)

  18. 或 1

  19.等腰

  20.
解: 当 x=2 时,
.
…………4 分
原式=
  22.(12 分) 解:
.
…………4 分
(
  1)图形
…………2 分 …………3 分
设 P 是⊙O 上任意点,Q 为 l 与⊙O 的交点 ∵∠APQ=∠BPQ ∴ ∴Q 为 中点 即∠APB 的平分线过点 Q (
  2)能取得最大值
…………6 分 …………8 分
…………12 分 四,
  23.(10 分) 解: (
  1)按优惠方案①可得 y1=20×4+(x-
  4)×5=5x+60(x≥
  4) …………2 分 按优惠方案②可得 y2=(5x+20×
  4)×92\%=
  4.6x+
  73.6(x≥
  4) …………4 分 (
  2)比较 y1-y1=
  0.4x-
  13.6(x≥
  4) 令 y1-y1=0,得 x=34 …………7 分 ∴当购买 34 盒水彩时,两种优惠方案付款一样多. …………8 分 当 4≤x<34 时,y1<y2,优惠方案①付款较少. …………9 分 …………10 分 当 x>34 时,y1>y2,优惠方案②付款较少. 五,
  24.(10 分) 解(
  1)如图所示,在点 C 测得∠ACB=α,在点 D 测得 ∠ADB=β,测得 DC=m. …………4 分 (
  2)解:在 Rt△ABC 中,设 AB=x,BC=xcotα 在 Rt△ABD 中,BD=xcotβ BD=m+BC 即 xcotβ=m+xcotα
解得 x=
…………10 分
(注:标记字母不同,结果正确,按以上标准给分) 六,(12 分)
  25. (
  1)证明 连结 AC ∵AB=BC,且点 A 为 中点 ∴△ABC 为等边三角形 在 AE 上截取 EF=BE,连结 BF ∵∠AEB=∠ACB=60°,且 EF=BE ∴△EFB 为等边三角形 ∵∠ABC=∠FBC=60° ∴∠ABF=∠EBF 在△ABF 和△CBE 中 ∵AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BE
∴△ABF≌△CBF ∴AF=CE ∴AE=BE+CE …………6 分 (
  2)AE=BE-CE …………8 分 证明:连接 AC ∵AB=BC,且 A 为 中点
∴△ABC 为等边三角形 在 BE 上取 EF=AE,连结 AF ∵∠AEF=∠ACB=60°,且 EF=AE ∴△EFA 为等边三角形 ∵∠BAC=∠FAE=60° ∴∠BAF=∠EAC 在△ABF 和△ACE 中 ∵AB=AC ∠BAF=∠EAC AF=AE ∴△ABF≌△ACE ∴BF=CE ∴AE=BE-CE …………12 分 七,(12 分)
  26.设甲车的速度为 x(千米/时),乙车的速度为 y(千米/时),A,B 两地的距离为 S(千 米) …………2 分

…………4 分

…………6 分
①÷②得
2
…………8 分
去分母,化简得 S -190S=0 …………10 分 S=0(舍) S=190 答:A,B 两地的距离为 190 千米. …………12 分 八,(16 分)

  28.(
  1)由
,PM+MQ=
+r=1,得 r=2
-3
…………2 分
(
  2)①点 M(0,r)=(0,2
-
  3),点 Q(rcos60°,
)即 Q(
)
由已知直线过点 M,Q,得
解得 k=
2
,m=2
-3
…………5 分
②由 y=x +bx+c 过点 O,Q,则 C=0
,得 b=
即得
…………8 分
③令
,则
,x2=0
即得当
<x<0 时 y<0
④由已知得
消去 y 得
…………12 分
设点 E 的横坐标为 x2,点 Q 的横坐标为 由根与系数的关系得 x2=-2
则 进而得线段 EQ 的长为 2 +1
…………14 分 …………16 分

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