2000年全国高中数学联赛试题及答案



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2000 年全国高中数学联赛试题
第一试
(10 月 15 日上午 8:00?9:
  40) 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的, 、 、 、 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过 一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。
  1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x
(A) {2} (B) {?1} (C)
2
?2
= 10 x },则 A I B 是
(D)
?
【答】 (

{x|x≤2}

  2.设 sinα>0,cosα<0,且 sin
α
3
>cos
α
3
,则
α
3
的取值范围是
(B) (
【答】 (

(A)
(2kπ+
π
6
,2kπ+
π
3
), k∈Z
2kπ π 2kπ π + , + ),k∈Z 3 3 6 3
(C)(2kπ+
5π ,2kπ+π),k∈Z 6
2 2
(D)(2kπ+
π ,2kπ+ π ) U (2kπ+ 5π ,2kπ+π),k∈Z
4 3
6

  3.已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形, 则△ABC 的面积是 【答】 ( )
3 3 3 (B) (C) 3 3 (D) 6 3 3 2 其中 p≠q, p,a,q 是等比数列,,b,c,q 是等差数列, 若 p 则一元二次方程 bx2?2ax+c=0
  4.给定正数 p,q,a,b,c, 【答】 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
(A)

  5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y = (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20
5 4 x + 的距离中的最小值是 3 5 (D) 1 【答】 ( 30
) )

  6.设 ω = cos
π
5
+ i sin
π
5
,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是
(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0
【答】 (
(A) x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0
二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 填空题
  7.arcsin(sin2000°)=.

  8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim (
n →∞
3 2 33 3n + +L+ )=. a 2 a3 an

  9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是.
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  10.在椭圆 离心率是
x2 y2 + = 1 (a>b>
  0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的 a2 b2
5 ?1 ,则∠ABF=. 2
  11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是.
  12.如果:(
  1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4};(
  2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;(
  3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,
那么,
可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是.
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 解答题( Sn
  13.设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N,求 f(n)= 的最大值. ( n +
  32) S n +1
1 13
  14.若函数 f ( x) = ? x 2 + 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2
x2 y2 + = 1 (a>b>
  0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任意 a2 b2 一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论。
  15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:
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(10 【加试】 月 15 日上午 10∶00-12∶
  00) 加试】 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC (M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积 相等. A
M N B E F C
D
二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足,且
?an +1 = 7an + 6bn ? 3 n = 0,1,2,L ? ?bn +1 = 8an + 7bn ? 4
证明 a n(n=
  0,
  1,
  2,…)是完全平方数.
三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数 相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值.
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年全国高中数学联合竞赛试题答案 2000 年全国高中数学联合竞赛试题答案
答案:D 由 x ? 2 ≤ 2 得 x=
  2,故 A={2};由 10
x 2 ?2

  1.
= 10 x 得 x 2 ? x ? 2 = 0 ,故 B={-
  1,2}.
所以 A I B =φ.
  2. 答案:D 由 sin α > 0 , cos α < 0 得 α ∈ ? 2kπ +
? ?
π
? ,2kπ + π ?, k ∈ Z 2 ?
………………①
从而有
α
3
∈?
? 2kπ π 2kπ π ? + , + ?, k ∈ Z 6 3 3? ? 3
> cos
又因为 sin
α
3
α
3
,所以又有
α
3
∈ ? 2kπ +
? ?
π
4
,2kπ +
5π ? ?, k ∈ Z …………② 4 ?
如上图所示,是①、②同时成立的公共部分为
π π? ? 5π ? ? ,2kπ + π ?, k ∈ Z . ? 2kπ + ,2kπ + ? U ? 2kπ + 4 3? ? 6 ? ?

  3.答案:C 如图所示,设 BD=t,则 OD= 3 t-
  1,从而 B( 3 t-
  1,t)
2
可以得到 t= 3 ,所以等边三角形, ΔABC 满足方程 x 2 ? y 2 = 1 , 面积是 3 3 .
  4. 答案: A
-2
B
1

2p + q 由 题 意 知 pq=a2 , 2b=p+c,2c=q+b ? b = , 3 p + 2q 2 p + q p + 2q 3 2 3 2 c= ? bc= ≥ p q ? pq =pq=a2 . 3 3 3
A
-1
O
-1
1
2
D
第3题
-2
C
因为 p≠q,故 bc> a
  2,方程的判别式Δ= 4a2 -4bc<
  0,因此,方程无实数根.
  5. 答案:B 设整点坐标(m,n),则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为
d=
25m ? 15n + 12 25 2 + (?
  15) 2
=
5(5m ? 3n) + 12 5 34
由于 m,n∈Z,故 5(5m-3n)是 5 的倍数,只有当 m=n=-
  1,时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的绝对值最小, 其值为
  2,从而所求的最小值为
  6. 答案: B
2 3 4
34 . 85 + i sin
7
由 ω = cos
5 6
π
5
π
5
8
= cos
2π 2π + i sin 知, 10 10
ω,ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω
  9,ω10(=
  1)是 1 的 10 个 10 次方根. 从而有
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(x-ω)(x-ω
  2)(x-ω
  3)(x-ω
  4)(x-ω
  5)(x-ω
  6)(x-ω
  7)(x-ω
  8)(x-ω
  9)(x-ω
  10)=x10-1………① 由因ω
  2,ω
  4,ω
  6,ω
  8,ω10 是 1 的 5 个 5 次方根, 从而有 ………② (x-ω
  2)(x-ω
  4)(x-ω
  6)(x-ω
  8)(x-ω
  10)=x5-1 3 5 7 9 5 ①÷②得 (x-ω)(x-ω )(x-ω )(x-ω )(x-ω )=x +1 ………③ 5 ③的两边同除以(x-ω )=x+
  1,得 (x-ω)(x-ω
  3) (x-ω
  7)(x-ω
  9)= x4-x3+x2-x+
  1. 所以ω,ω
  3,ω
  7,ω9 为根的方程是 x4-x3+x2-x+1=
  0. 二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分)
  7. 答案:-20° sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20° 故 a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= - a rcsin(sin20°)= -20°
  8.答案:18 由二项式定理知, a n = C n ? 3
2 n?2
,因此
3n 32 ? 2 1? ? 1 = = 18? ? ? a n n(n ?
  1) ? n ?1 n ?
? 3 2 33 3n ? + +L+ lim ? a2 a3 an n→ ∞ ?

  9.答案:
? 1 ? = lim18?1 ? ? =
  18. ? ? ? ? n→ ∞ ? n ?
1 3
q=
a + log 4 3 a + log 8 3 log 4 3 ? log 8 3 1 = = = a + log 2 3 a + log 4 3 log 2 3 ? log 4 3 3
5

  10.答案:90°
如图所示,由
2
c 5 ?1 = ? c2+ac-a2=
  0, a 2
2
B
(a cos ∠ABF =
+ b 2 + a 2 ? (c + a ) 2?a? a +b
2 2
)
c
b
O
a
5
=0
-5
F
A
? 则∠ABF=90°.
-5
第10题
A H O 0' E C 第11题
为 O
  1,

  11. 答案:
2 3 πa 24
[解] 如图,设球心为 O,半径为 r,体积为 V,面 BCD 的中心 B 棱 BC 的中心点为 E,
D
1 2 6 则 AO1= a ? O1 B = a ? a = a, 3 3
2 2 2
由 OB 2 =O1O 2 +O1B 2 = (O1 B ? OB ) +O1B 2 得
2
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2 2 2 6 1 3 6 a ? a OB+ a 2 = 0, 故 OB= a a, 3 3 3 2 6 4
于是 r = OE =
OB 2 ? BE 2 =
3 2 1 2 1 a ? a = a. 8 4 2 2
V= π r =
2
4 3
2 3 4 1 π πa . a2 = 3 16 2 24

  12.答案:28
abcd 中恰有 2 个不中数字时,能组成 C 2 = 6 个不中数字 4
1 1 1 1 abcd 中恰有 3 个不中数字时,能组成 C 1 C 2 C 2 + C 2 C 2 =12+4=16 个不中数字 3
abcd 中恰有 4 个不中数字时,能组成 P 3 =6 个不中数字 3
所以,符合要求的数字共有 6+16+6=28 个
  13.答案:
1 50
解 由已知,对任何 n ∈ N, 有 f (n)=
Sn Sn = (n +
  32)S N +1 (n +
  32)(n +
  2)
又因 n+
=
1 n = n + 34n + 64 n + 34 + 64 n
2
64 64 +34 ≥ 2 n. +34=50, n n
故对任何 n ∈ N, 有 f (n)=
1 64 n + 34 + n

1 50
由于 f(
  8)=
1 1 ,故 f(n)的最大值为 50 50

  14.答案:所求区间为[1,3]或[-2- 17 解 化三种情况讨论区间[a,b].
13 ]. 4
(
  1) 若 0 ≤ a<b, 则 f (x)在[ a, b ] 上单调递减,故 f(a) =2b, f(b)=2a 于是有
1 2 13 ? ?2b = ? 2 a + 2 ,解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], ? 1 2 13 ?2 a = ? b + 2 2 ?
(
  2)若 a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增,在[0,b] 上单调递减,, 因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值
13 13 ,b= .由于 a<0, 2 4 1 13 2 13 39 又 f(b)=- ( ) + = >0 2 4 2 32
2a.故 2b=
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(
  2) 当 a<b ≤ 0 时,f(x)在[a,b] 上单调递增,故 f(a)=2a, f(b)=2b,
1 2 13 a + , 2 2 13 解得 a=-2- 17 ;于是得 [a,b]=[-2- 17 , ]. 4
故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a=
1 2 13 1 13 a + ,2b=- a 2 + . 2 2 2 2 1 2 13 由于方程 x +2x- =0 的两根异号,故满足 a p b p 0 的区间不存在. 2 2 13 ]. 综上所述,所求区间为[1,3]或[-2- 17 4 1 1
  15. 答案:所求条件为 2 + 2 =
  1. a b
即 2a=证明:必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即 菱形中心. 假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与 C1 内接,与 Co 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂 直平分,另外两个顶点必在 y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条 边的方程为 故必有
2
Q R
-2
P O
2
x y + =1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO 外切, a b
S 第15题(必必必)
2
-2
ab a 2 + b2
=1,整理得
1 1 + =
  1. 必要性得证. a2 b2
M
P
Q
-2
1 1 充分性:设 2 + 2 =1,P 是 C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 a b
PR,再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS,则 PQRS 为与 C1 内接菱 形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为(r1cos θ , r1sin θ ),点 Q 的坐标为(r2cos( θ +
O S
2
R 第15题(充充必)
-2
π
2
),r2sin( θ +
2
π
2
)),代入椭圆方程,得
(r1 cosθ )
a2
2
+
(r1 sin θ )
b2
[r 2 cos(θ +
=1,
π
2
)] 2
+
[r 2 sin(θ +
π
2
)]2
=1,
a2
b2
cos 2 (θ +
1 1 1 1 cos 2 θ sin 2 θ 于是, + = 2 + 2 =( + )+[ OP 2 OQ 2 R1 R2 a2 b2
=
π
a2
2 +
) sin 2 (θ +
π
b2
) 2 ]
1 1 + =
  1. a2 b2 1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2
又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则
同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为
  1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a + b = a b
2 2 2 2

ab a2 + b2
=1 等条件者,应同样给分.
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年全国高中数学联合竞赛试卷答案 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试
一、证明:连结 MN、BD, ∵FM⊥AB,FN⊥AC,∴A,M,F,N 四点共圆. ∴∠AMN=∠AFN , ∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°,即 MN⊥AD. ∴SAMDN=
1 AD?MN 2 AF AC = ? AB?AC=AD?AF . AB AD
∵∠CAF=∠DAB,∠ACF=∠ADB, ∴△AFC∽△ABC ?
A M N
又 AF 是过 A、M、F、N 四点的圆的直经,
MN =AF ? AF sin∠BAC=MN. sin ∠BAC 1 ∴ S ∧abc = AB?AC?sin∠BAC 2 1 = AD?AF?sin∠BAC 2 1 = AD?M N 2
∴ =SAMDN
B D
E
F
C
加加(一)
二. [证法一]:由假设得 a1=4, b1=4 且当 n ≥ 1 时 (2an+1-
  1)+ 3bn +1 =(14an+12bn-
  7)+ 3 (8an+7bn-
  4) =[(2an-
  1)+ 3bn ](7+4 3 ) 依次类推可得 (2an-
  1)+ 3bn = (7+ 4 3 ) n ?1 (2a1 -1+ 3b1 )=(7+4 3 ) n 同理(2an-1+ )- 3bn =(7+4 3 ) n 从而 an=
1 1 1 (7+4 3 ) n + (7+4 3 ) n + . 2 4 4
  3) 2 ,
由于 7 ± 4 3 =(2 ± 所以 an =[
1 1 (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n ] 2 2 2 1 1 k 2k (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n = ∑ C n 3 2 n ? 2 k , 2 2 0≤ 2 k ≤ n
由二项式展开得 c n =
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显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. [证法二]:由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-
  4)-3 =7an+48an-1+42bn-1-27 , 由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 , 从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27 =14an-an-1-6 . 也就是 an+1=14an-an-1-6 . ……①②③④ 设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t)
? p + k = 14 ? 则有 ? pk = 1 ?t (1 ? p) = 6 ?
?k = 7 + 4 3 = 2 + 3 2 ?k = 7 ? 4 3 = 2 ? 3 2 ? ? 2 2 ? ? 解得 ? p = 7 ? 4 3 = 2 ? 3 或 ? p = 7 + 4 3 = 2 + 3 ?t = 3 + 2 3 ?t = 3 ? 2 3 ? ? ? ?
分别代入①,根据数列{ an+1-kan+t }是以 a1-ka0+t 为首项、p 为公比的等比数列,整理得
( (
) )
( (
) )
a n+1 ? (7 + 4 3 )a n + (3 + 2 3 ) = ?2 3 (7 ? 4 3 ) n = ?2 3 (2 ? 3 ) 2 n a n+1 ? (7 ? 4 3 )a n + (3 ? 2 3 ) = 2 3 (7 + 4 3 ) n = 2 3 (2 + 3 ) 2 n
③-②,整理得
n n? 1 ?1 an = ? 2 + 3 + 2 ? 3 ? 2 ?2 ?
…② …③
(
)
(
)
2
由二项式展开得 c n =
1 1 k 2 (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n = ∑ C n k 3 2 n ? 2 k , 2 2 0≤ 2 k ≤ n
显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. 三.解析:显然 n ≥
  5. 记 n 个人为 A
  1,A
  2, AN , 设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l ≤ i, j ≤ n .则
m i +m j ? y i . j
=
1 n ∑ ms - 3k = c . 2 s =1
(*)
其中 c 是常数 ,l ≤ i, j ≤ n . 根据(*)知, mi ? m j = ( mi + m s ) ? ( m j + m s ) = y i .s ? y j .s ≤ 1 , l ≤ i, j ≤ n .
? mi ? m j

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2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案

  2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案 2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案2005 年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005 年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007 年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007 年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008 2008 年全国初中数学联赛2008 年 4 月 13 日上午 8:30?9:30 一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1、设 a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且 a ≠ b,则代数式 ( ...

08年全国初中数学联赛决赛试题及答案(江西卷)

  年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷) 2008 年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)(2008 年 4 月19日 上午9:00?11:30)一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 选择题( 本题共有 6 小题,每题均给出了代号为 A, B, C , D 的四个答案,其中有且仅有 一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分; 不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1、从分数组 { 两个数是( (A) 与 2、化简 ( ...

2006年全国高中数学联赛一试题解答集锦

  维普资讯 http://www.cqvip.com陕西 省数 学竞赛 委 员会  刘康 宁 一、选择题 ( 题 满分 3 本 6分 , 小 题 6分 ) 每  1 已知 AA C 若 对 任意 t , 百 . B , ∈R I  一t I 赢  ≥l   1则 △AB   , c( ) .  综上所述 ,>寺, X . B z 且 ≠1选 .  巧 思妙解 : .?2 则 左 边 一lg9 右 边 一 0 不  取 2 7 , oz, ,A. 必为 锐角 三角 形  B 必 为钝 角三 角形  ...

第22届全国高中化学竞赛试题及答案(省级赛区)

  中国化学会第 22 届全国高中学生化学竞赛(省级赛区)试题、标准答案及评分细则 20080918 共 11 页1中国化学会第 全国高中学生化学竞赛(省级赛区) 中国化学会第 22 届全国高中学生化学竞赛(省级赛区) 试题、标准答案 答案及评分细则 试题、标准答案及评分细则 2008 年 9 月 18 日 题号 满分 1 14 2 5 3 4 4 10 5 5 6 11 7 14 8 9 9 7 10 11 11 10 总分 100评分通则:1.凡要求计算的,没有计算过程,即使结果正确也不得分。 ...

2002年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答

  2003 年第 2 期352002年全国高中数学联赛?安徽赛区?预赛试题及解答 2002 年安徽省高中数学竞赛一 选择题 ( 每小题 6 分 ,满分 36 分)    、1. 已知集合 P = { x | x = 1} 和 Q = { x | mx = 1}. ) 若 Q < P ,则实数 m 可取值的个数为 (    . (A) 0    (B) 1    ( C) 2    (D) 3 (A) a2 > b2 (B)b <1 a28. 已知数列 { an } 中 , an ...

2003年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答

  30中 等 数 学2003年全国高中数学联赛?安徽赛区?预赛试题及解答 2003 年安徽省高中数学竞赛 ( 初赛)   、 一 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 定义 : A - B = { x| x ∈A 且 x | B }. 若 M = { x ≤x ≤ 002 , x ∈N+ } , N = { y | 2 ≤y ≤2 003 , y ∈ |1 2) N+ } ,则 N - M 等于 (    . (A) M   (B) N   ( C) {1}   (D) {2 003 ...

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