1999年全国初中数学联合竞赛试题



1999 年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 (4 月 4 日上午 8:30--9:
  30) 考生注意:本试两大题共 10 道小题,每题 7 分.全卷满分 70 分. 一,选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 本题共有 6 个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论, 其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号 内.每小题选对得 7 分;不选,选错或选出的代表字母超过一个(不论是否 写在圆括号内),一律得 0 分.
1,计算
的值是( ).
(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-
  2. 2,△ABC 的周长是 24,M 是 AB 的中点,MC=MA=5,则△ABC 的面积是( ). (A)12;(B)16;(C)24;(D)
  30. 3,设 ,将一次函数 与 的图象画在同一平面
直角坐标系内,则有一组 ( ).
的取值,使得下列 4 个图中的一个为正确的是
4, 若函数 ,则当自变量 取 1,2,3,…,100 这 100 个自然数时,函数值的和是( ).
(A)540;(B)390;(C)194;(D)
  97. 5,如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB‖DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上,则满足条件∠BPC=90°的点 P 的个数为( ).
(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于 3 的整数. 6,有下列三个命题:(甲)若 是不相等的无理数,则 是
无理数;(乙)若
是不相等的无理数,则
是无理数;(丙)若
是不相等的无理数,则 ( ). (A)0;(B)1;(C)2;(D)
  3.
是无理数.其中正确命题的个数是
二,填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分) 本题共有 4 道小题,要求直接把答案写在横线上.
1,已知

,则
=.
2,如图,在△ABC 中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB 的平分线交 BC 于 M, △ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N,则△ANM 的最小角等于 .
3,已知 则
为整数,且满足 =.
,
4, 在正方形 ABCD 中, 是 DC 的中点, 是 AD 上异于 D 的点, N M 且∠NMB=∠MBC, 则 tg∠ABM=.
=============== =============== =============== 第二试 (4 月 4 日上午 10:00--11:
  30) 考生注意:本试三大题,第一题 20 分,第二,三题各 25 分,全卷满分 70 分. 一,(本题满分 20 分)
某班参加一次智力竞赛,共 其中题 满分 20 分,题 ,题
三题,每题或者得满分或者得 0 分. 满分分别为 25 分.竞赛结果,每个学生至
少答对了一题,三题全答对的有 1 人,答对其中两道题的有 15 人,答对题 的人数与答对题 和为 25,答对题 绩是多少分? 二,(本题满分 25 分) 如图,设△ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上,BD=4DC.已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F,与 AN 相切于 AB 的中点 G.求证:AD⊥BF. 的人数之和为 29,答对题 的人数与答对题 的人数与答对题 的人数之
的人数之和为 20,问这个班的平均成
三,(本题满分 25 分)
已知 求 和
为整数,方程 的值.
的两根都大于-1 且小于 0,
=============== =============== =============== 第一试参考答案 一,选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 本题共有 6 个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论, 其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号 内.每小题选对得 7 分;不选,选错或选出的代表字母超过一个(不论是否 写在圆括号内),一律得 0 分.
1,计算
的值是( D ).
(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-
  2.
解:原式=
.
2, △ABC 的周长是 24, 是 AB 的中点, M MC=MA=5, 则△ABC 的面积是 C ) ( . (A)12;(B)16;(C)24;(D)
  30. 解:∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°,已知周长是 24,则 AC+BC=14,AC2 +BC2=1
  02.∴2AC×BC=(AC+BC)2-(AC2+BC
  2)=142-102=4×
  24.

.
3,设
,将一次函数

的图象画在同一平面
直角坐标系内,则有一组 ( B ).
的取值,使得下列 4 个图中的一个为正确的是
解:由方程组
的解知两直线的交点为
,而图 A 中交
点横坐标是负数,故图 A 不对;图 C 中交点横坐标是 2≠1,故图 C 不对;图 D 中交点纵坐标是大于 ,小于 的数,不等于 ,故图 D 不对;故选 B.
4,若函数 ,则当自变量 取 1,2,3,…,100 这 100 个自然数时,函数值的和是( B ). (A)540;(B)390;(C)194;(D)
  97.
解:
当 .∴当自变量
时, 取 2,3,…,
98 时,函数值都为
  0.而当
取 1,99,100 时, ,故所求的和为:
. 5,如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB‖DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上,则满足条件∠BPC=90°的点 P 的个数为( C ).
(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于 3 的整数. 解: 的中点 M 对 BC 张成 90°角, AD 又在 AD 上取点 N 使 AN=998, ND=10
  01. 则 由△ABN 和△DCN 都为等腰三角形推知∠BNC=90°, 注意到以 BC 为直径的圆 与 AD 至多有两个交点,可知所求点的个数为
  2.
6,有下列三个命题:(甲)若
是不相等的无理数,则

无理数; (乙) 若
是不相等的无理数, 则
是无理数; (丙) 若
是不相等的无理数, 则
是无理数. 其中正确命题的个数是 A ) ( .
(A)0;(B)1;(C)2;(D)
  3. 解: , ,则 ,只要令 为有理数,故(甲)不对;
又若令
,
,则
为有理数,故(乙)不对;又若令 为有理数,故(丙)不对;故正确
,则 命题个数是 0,应选(A).
二,填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分) 本题共有 4 道小题,要求直接把答案写在横线上.
1,已知

,则
= 2 .
解:
,即 , , ,
,
,
.
2,如图,在△ABC 中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB 的平分线交 BC 于 M, △ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N, 则△ANM 的最小角等于 44° .
解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM 为∠CAB 的平分线,∴∠CAM=∠MAB=
,∵∠AMC=44°.又 AN 为切线,∴∠NAC =∠B=36°,∠NAM=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM 的最小角为 44°.
3,已知 则
为整数,且满足 = 3 .
,
解:左边= 整数,且不相等,
,即
, 只可能取值 或
,而

.不妨

,则
,或
,∵(
  2)无整数解,
由(
  1)得
,
.
4, 在正方形 ABCD 中, 是 DC 的中点, 是 AD 上异于 D 的点, N M 且∠NMB=∠MBC,
则 tg∠ABM=
.
解:延长 MN 交 BC 的延长线于 T,设 MB 的中点为 O,连 TO,则△BAM∽△TOB, ∴
,即 则 AM= ,BM= ,BT= ,注意到
.令 DN=1,CT=MD= ,代入(
  1)式得 ,解得
,
. =============== =============== =============== 第二试参考答案 一,(本题满分 20 分) 某班参加一次智力竞赛,共 其中题 满分 20 分,题 ,题 三题,每题或者得满分或者得 0 分. 满分分别为 25 分.竞赛结果,每个学生至
少答对了一题,三题全答对的有 1 人,答对其中两道题的有 15 人,答对题 的人数与答对题 和为 25,答对题 绩是多少分? 的人数之和为 29,答对题 的人数与答对题 的人数与答对题 的人数之
的人数之和为 20,问这个班的平均成
解:设
分别表示答对题
,题
,题
的人数,则有
, , ,∴答对一题的人 数为 37-1×3-2×15=4,全班人数为 1+4+15=20,∴平均成绩为
. 答:班平均成绩为 42 分. 二,(本题满分 25 分) 如图,设△ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上,BD=4DC.已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F,与 AN 相切于 AB 的中点 G.求证:AD⊥BF.
证:作 DE⊥AC 于 E,则 AC= =AFAC,
AE,AG=
ED.由切割线定理有:AG2
∴ ED2=AF AE, ∴5ED2=AFAE, ∴ABED=AFAE, ∴ , ∴△BAF∽△AED, ∴∠ABF=∠EAD, 而∠EAD+∠DAB=90°, ∴∠ABF+∠DAB =90°,∴AD⊥BF. 三,(本题满分 25 分)
已知 求 和
为整数,方程 的值.
的两根都大于-1 且小于 0,
解:根据函数 ,∴
的图象和题设条件知:当 …①;当 时,
时,
,∴
…②.抛物线顶点的横坐标


,∴
…③.

,即
,∴ ,若
…④,由①,③,④得 ,则由②,④得 且
,得
;

,则

,无整数解;

,则

,无整数解;

,则

,无整数解;故所求
的值为

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