02~06年全国初中数学联赛试题及答案

若 a < b ,则 a + b + c 的最大值为 . 答:50
  13. 解:由 a + b =2006, c a =2005,得 a + b + c = a +40
  11. 因为 a + b =2006, a < b , a 为整数,所以, a 的最大值为 10
  02. 于是, a + b + c 的最大值为 50
  13.
  7. 如图, 面积为 a b c 的正方形 DEFG 内接于面积为 1 的正三角形 ABC, 其中 a,
b,c 是整数,且 b 不能被任何质数的平方整除,则
ac 的值等于 b
.
(第 7 题图)
20 . 答: 3
解:设正方形 DEFG 的边长为 x,正三角形 ABC 的边长为 m,则 m 2 =
4 .由△ 3
3 mx x ADG ∽ △ABC,可得 = 2 , m 3 m 2
解得 x = (2 3
  3)m .于是 x 2 = (2 3
  3) 2 m 2 = 28 3 48 , 由题意,a=28,b=3,c=48,所以
ac 20 = . b 3

  8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲,乙两人分别从 A,C 两点同时出
发,沿 A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为 50 米?分,乙的速度为
46 米?分. 那么,出发后经过
分钟,甲,乙两人第一次开始行走在同一条边上.
答:1
  04. 设甲走完 x 条边时, 乙两人第一次开始行走在同一条边上, 甲, 此时甲走了 400x 解: 400 x 米,乙走了 46 × = 368 x 米.于是 368( x
  1) + 800 400( x
  1) > 400 , 50 且
(368 x + 8
  00) 400 x ≤ 400 ,
所以,
  12.5 ≤ x <
  13.5 . 400 × 13 故 x=13,此时 t = = 104 . 50
1 2 29
  9.已知 0 < a < 1 ,且满足 a + + a + + + a + = 18 ( [ x ] 表示不超过 x 30 30 30
的最大整数) ,则 [10a ] 的值等于 答 :
  6. 因为 0 < a + 解:
.
1 2 29 1 2 29 <a+ < < a + <2, 所以 a + , a + , a + …, 30 30 30 30 30 30
等于 0 或者
  1.由题设知,其中有 18 个等于 1,所以
1 2 11 a + 30 = a + 30 =…= a + 30 =0, 29 12 13 a + 30 = a + 30 =…= a + 30 =1, 11 < 1, 30 12 1≤ a + < 2 . 30 19 故 18 ≤ 30a < 19 ,于是 6 ≤ 10a < ,所以 [10a ] =
  6. 3
所以
0<a+

  10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上
数字 8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2,成为一 个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话 号码的六位数的 81 倍,则小明家原来的电话号码是 答:2825
  00. 解 : 设原来电话号码的六位数为 abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八位数为
2a8bcdef .
.
根据题意,有 81× abcdef = 2a8bcdef .
记 x = b ×10 4 + c ×103 + d ×10 2 + e × 10 + f ,于是
81× a × 105 + 81x = 208 × 105 + a × 106 + x ,
解得 x = 1250 × (208 71a ) . 因为 0 ≤ x ≤ 105 ,所以 0 ≤ 1250 × (208 71a ) < 105 , 故
128 208 <a≤ . 71 71 因为 a 为整数,所以 a =
  2.于是
x = 1250 × (208 71 ×
  2) = 82500 .
所以,小明家原来的电话号码为 2825
  00. 三,解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 解答题( b
  11.已知 x = , a , b 为互质的正整数,且 a ≤ 8 , 2 1 < x < 3 1 . a (
  1)试写出一个满足条件的 x; (
  2)求所有满足条件的 x . 1 ……………………5 分 ( 解:
  1) x = 满足条件. 2 b (
  2)因为 x = , a , b 为互质的正整数,且 a ≤ 8 ,所以 a b 2 1 < < 3 1 , a 即
( 2
  1) a < b < ( 3
  1) a .
当 a=1 时, ( 2
  1) × 1 < b < ( 3
  1) × 1 ,这样的正整数 b 不存在. 当 a=2 时, ( 2
  1) × 2 < b < ( 3
  1) × 2 ,故 b=1,此时 x =
1 . 2 2 当 a=3 时, ( 2
  1) × 3 < b < ( 3
  1) × 3 ,故 b=2,此时 x = . 3
当 a=4 时, ( 2
  1) × 4 < b < ( 3
  1) × 4 ,与 a 互质的正整数 b 不存在.
3 当 a=5 时, ( 2
  1) × 5 < b < ( 3
  1) × 5 ,故 b=3,此时 x = . 5
当 a=6 时, ( 2
  1) × 6 < b < ( 3
  1) × 6 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=7 时, ( 2
  1) × 7 < b < ( 3
  1) × 7 ,故 b=3,4,5,此时 x =
5 当 a=8 时, ( 2
  1) × 8 < b < ( 3
  1) × 8 ,故 b=5,此时 x = . 8 3 4 5 , , . 7 7 7
所以,满足条件的所有分数为
1 2 3 3 4 5 5 , , , , , , . 7 7 8 2 3 5 7 …………………15 分
  12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14
① ②
及 求 a 的取值范围. 解法 1:由①-2×②得
bc = a 2 4a 5 ,
(b c) 2 = 24(a +
  1) > 0 ,
所以 a > 1 . 当 a > 1 时, b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 = 2(a +
  1)(a +
  7) > 0 . …………………10 分 又当 a = b 时,由①,②得 c 2 = a 2 + 16a + 14 , ac = a 2 4a 5 , 将④两边平方,结合③得 a 2 ( a 2 + 16a + 14 ) = ( a 2 4a 5 ) ,
2
③ ④
化简得
24a 3 + 8a 2 40a 25 = 0 ,

(6a +
  5) (4a 2 2a
  5) = 0 ,
5 1 ± 21 解得 a = ,或 a = . 6 4
5 1 ± 21 所以, a 的取值范围为 a > 1 且 a ≠ , a ≠ . 6 4
……………15 分 解法 2:因为 b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 , bc = a 2 4a 5 ,所以
(b + c) 2 = 2a 2 + 16a + 14 + 2(a 2 4a
  5) = 4a 2 + 8a + 4 = 4(a +
  1) 2 ,
所以
b + c = ±2(a +
  1) .
又 bc = a 2 4a 5 ,所以 b , c 为一元二次方程
x 2 ± 2(a +
  1) x + a 2 4a 5 = 0 的两个不相等实数根,故 = 4(a +
  1) 2 4(a 2 4a
  5) > 0 , 所以 a > 1 . 当 a > 1 时,
b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 = 2(a +
  1)(a +
  7) > 0 .

…………………10 分 另外,当 a = b 时,由⑤式有
a 2 ± 2(a +
  1)a + a 2 4a 5 = 0 ,

4a 2 2a 5 = 0 ,或 6a 5 = 0 ,
解得 a =
1 ± 21 5 ,或 a = . 4 6
5 1 ± 21 所以, a 的取值范围为 a > 1 且 a ≠ , a ≠ . 6 4
…………………15 分
  13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 点 A 作 PB 的平行线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延长 AE 交 PB 于点 K. 求证: PE AC = CE KB .
(第 13 题图)
证 明 : 因 为 AC ‖ PB , 所 以 ∠KPE = ∠ACE . 又 PA 是 ⊙ O 的 切 线 , 所 以
∠KAP = ∠ACE .故 ∠KPE = ∠KAP ,于是
△KPE∽△KAP, 所以 即
KP KE = , KA KP KP 2 = KE KA .
………………5 分 由切割线定理得 KB 2 = KE KA , 所以, KP=KB. …………………10 分 因为 AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
PE KP = , CE AC PE KB = , CE AC
PE AC = CE KB .
故 即
…………………15 分
  14.2006 个都不等于 119 的正整数 a1 , a 2 , , a 2006 排列成一行数,其中任意连续若 干项之和都不等于 119,求 a1 + a 2 + + a 2006 的最小值. 解:首先证明命题:对于任意 119 个正整数 b1 , b2 , , b119 ,其中一定存在若干个(至 少一个,也可以是全部)的和是 119 的倍数. 事实上,考虑如下 119 个正整数
b1 , b1 + b2 ,…, b1 + b2 + + b119 ,

若①中有一个是 119 的倍数,则结论成立. 若①中没有一个是 119 的倍数,则它们除以 119 所得的余数只能为 1,2,…,118 这 118 种情况.所以,其中一定有两个除以 119 的余数相同,不妨设为 b1 + + bi 和
b1 + + b j ( 1 ≤ i < j ≤ 119 ) ,于是
119 bi +1 + + b j ,
从而此命题得证. …………………5 分 对于 a1 , a 2 , , a 2006 中的任意 119 个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和 是 119 的倍数,又由题设知,它不等于 119,所以,它大于或等于 2 × 119 ,又因为
2006 = 16 × 119 + 102 ,所以 a1 + a2 + + a2006 ≥ 16 × 238 + 102 = 3910 .

…………………10 分 取 a119 = a 238 = = a1904 = 120 ,其余的数都为 1 时,②式等号成立. 所以, a1 + a 2 + + a 2006 的最小值为 39
  10. …………………15 分

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