02~06年全国初中数学联赛试题及答案



2002 年全国初中数学联合竞赛试卷
(2002 年 4 月 21 日 8:30?10:
  30) 一,选择题(本题 42 分,每小题 7 分) 1,已知 a= 2 -1,b=2 2 - 6 ,c= 6 -2,那么 a,b,c 的大小关系是( )
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b 2 2 3 3 2,若 m =n+2,n =m+2(m≠n),则 m -2mn+n 的值为( ) (A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2 3,已知二次函数的图象如图所示,并设 M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( ) (A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定 M 为正,为负或为 0 4,直角三角形ABC 的面积为 120,且∠BAC=90,AD 是斜边上的中线,过 D 作 DE⊥AB 于 E, 连 CE 交 AD 于 F,则△AFE 的面积为( ) (A)18 (B)20 (C)22 (D)24 5,圆 O1 与 O2 圆外切于点 A,两圆的一条外公切线与圆 O1 相切于点 B,若 AB 与两圆的另一条外 ) 公切线平行,则圆 O1 与圆 O2 的半径之比为( (A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3 6,如果对于不小于 8 的自然数 n,当 3n+1 是一个完全平方数是,n+1 都能表示成个 k 完全平方数的 和,那么 k 的最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 y
O1 -1 O 1 x B
A
O2
二,填空题(每小题 7 分,共 28 分) 1,已知 a<0,ab<0,化简,
1 = |a b3 2 ||ba + 3 |
.
2,如图,7 根圆形筷子的横截面圆的半径均为 r,则捆扎这 7 根筷子一周的绳子和长度为 3,甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有 8 元和 9 元,若两人购买商品一共花费了 172 元,则其中单价为 9 元的商品有 件. 4,设 N=23x+92y 为完全平方数,且不超过 2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有 对. 三, (本题满分 70 分) 1, (本题满分 20 分)
a+b=8 已知:a ,b,c 三数满足方程组 ,试求方程 bx2+cx-a=0 的根. ab c 2 + 8 3c = 48
2, (本题满分 25 分)
如图,等腰三角形 ABC 中,P 为底边 BC 上任意点,过 P 作两腰的平行线分别与 AB,AC 相交 于 Q,R 两点,又 P`的对称点,证明:P'在△ABC 的外接圆上. A P' R
Q C
B
P
3, (本题满分 25 分) 试确定一切有理数 r,使得关于 x 的方程 rx2+(r+
  2)x+r-1=0 有且只有整数根.
参考答案 一,BDCBCC 二,1,
3 2+ 3 15
2, 2( π +
  6) r
3,12
4,27
三,1,由方程组得:a,b 是方程 x2-8x+c2- 8 2 c+48=0 的两根 △=-4(c- 8 2 )2≥0,c=4 2 所以原方程为 x2+ 2 x-1=0 a=b=4
2+ 6 2 6 ,x2= 2 2 2,连结 BP',P'R,P'C,P'P (
  1)证四边形 APPQ 为平行四边形 (
  2)证点 A,R,Q,P'共圆 (
  3)证△BP'Q 和△P'RC 为等腰三角形 (
  4)证∠P'BA=∠ACP',原题得证 1 3, (
  1)若 r=0,x= ,原方程无整数根 2 r+2 r 1 (
  2)当 r≠0 时,x1+x2= x 1x 2= r r 消去 r 得:4x1x2-2(x1+x
  2)+1=7 得(2x1-
  1)(2x2-
  1)=7 1 由 x1,x2 是整数得:r= ,r=1 3
x1=
R 2003 年"TRULY○信利杯"全国初中数学竞赛试题及答案


一 1~5
二 6~10
三 11 12 13 14


得 分 评卷人 复查人 答题时注意: (
  1)用圆珠笔或钢笔作答(
  2)解答书写时不要超过装订线 (
  3)草稿纸不上交 一,选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分.以下每道小题 均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,请将正确结论的代号填入题后的括号里,不填,多填或错 填得零分) 1,若 4x―3y―6z=0,x―2y―7z=0, (xyz≠
  0) ,则代数式 A ―1
2
5x2 + 2 y2 z 2 的值等于( 2 x 2 3 y 2 10 z 2
)
B

19 2
C
―15
D
―13
A
B
G 2,在本埠投寄平信,每封信质量不超过 20g 时付邮费
  0.8 元,超过 20g 而不超过 40g 时付邮费
  1.60 元,依次类推,每增加 20g 需增 加邮费
  0.80 元(信的质量在 100g 以内) ,如果某人所寄一封信的 F 质量为
  72.5g,那么他应付邮费( ) C A
  2.4 元 B
  2.8 元 C 3元 D
  3.2 元 3,如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ) A D E A 360° B 450° C 540° D 720° 4,四条线段的长分别为 9,5,x,1(其中 x 为正实数) ,用它们 拼成两个直角三角形,且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如图) , D 则 x 可取值的个数为( ) C O A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 B 5,某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前 多后少的梯形队阵(排数≥
  3) ,且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均 站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ) A 1种 B 2种 C 4种 D 0种 得 分 评卷人 二,填空题(共 5 个小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6,已知 x=1― 3 ,那么
1 1 1 + = . x + 2 x2 4 x 2 1 1 1 7 7,若实数 x,y,z 满足 x+ =4,y+ =1,z+ = ,则 xyz 的值为 y z x 3
.
8,观察下列图形:


③ A

根据图①,②,③的规律,图④中的三角形的个数为 . 9,如图所示,已知电线杆 AB 直立于地面上,它的影子恰好 照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,如果 CD 与地面成 45°, ∠A=60°,CD=4m,BC=(4 6 ―2 2 )m,则电线杆 AB 的长为 m.
E
D C
10,已知二次函数 y=ax2+bx+c(其中 a 是正整数)的图像经过点 A(―1,
  4)与点 B(2,
  1),并且与 x 轴有两个不同的交点,则 b+c 的最大值为 . 三,解答题(共 4 小题,每小题 15 分,满分 60 分) 得 分 评卷人 11,如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线, OC 平行于弦 AD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连结 AC, 与 DE 交于点 P,问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论. A E O P D
B
C
12,某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单 位:小时) ,若汽车行驶的平均速度为 80 千米/小时,而汽车每行驶 1 千米需要的平均费用为
  1.2 元, 试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线(要有推理过程) ,并求出所需费用最少为多少元? D 6 14 C 13 O A 15 F 7 G 9 11 5 H 10 B 18 17 E 12
13,如图所示,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2+2(k―
  2)x+k=0(k 是整数的最大整数根),P 是⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点,点 B,C 是直线 PBC 与⊙O 的交点,若 PA,PB,PC 的长都是正整数,且 PB 的长不是合数,求 PA2+PB2+PC2 的值 A O P B C
14,沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的 4 个数 a,b,c,d 满足不等式(a―d)(b―c)>0,那么就 可以交换 b,c 的位置,这称为一次操作. (
  1)若圆周上依次放着数 1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次 相连的 4 个数 a,b,c,d,都有(a―d)(b―c)≤0?请说明理由. (
  2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1,2,…,2003,问:是否能经过有 限次操作后,对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d,都有(a―d)(b―c)≤0?请说明理由. 1 6 2
5 4
3
2003 年"TRULY信利杯"全国初中数学竞赛试题 信利杯" 参考答案与评分标准
一,选择题(每小题 6 分,满分 30 分) 选择题(

  1.D 由
  2.D
4 x 3 y 6 z = 0, x + 2 y 7 z = 0,
解得
x = 3z , 代入即得. y = 2 z.
因为 20×3<
  72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费
  0.8×4=
  3.2(元).
  3.C 如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
A G B
D A
C
M
F N E
C
O B
D
(第 3 题图)
(第 4 题图)

  4.D
显然 AB 是四条线段中最长的,故 AB=9 或 AB=x. (
  1)若 AB=9,当 CD=x 时, 9 2 = x 2 + (1 +
  5) 2 , x = 3 5 ; 当 CD=5 时, 9 2 = 5 2 + ( x +
  1) 2 , x = 2 14 1 ; 当 CD=1 时, 9 2 = 12 + ( x +
  5) 2 , x = 4 5 5 . (
  2)若 AB=x,当 CD=9 时, x 2 = 9 2 + (1 +
  5) 2 , x = 3 13 ;
当 CD=5 时, x 2 = 5 2 + (1 +
  9) 2 , x = 5 5 ; 当 CD=1 时, x 2 = 12 + (5 +
  9) 2 , x = 197 . 故 x 可取值的个数为 6 个.
  5.B 设最后一排有 k 个人, 共有 n 排, 那么从后往前各排的人数分别为 k, k+1, k+2, …, n(n
  1) = 100 ,即 n[2k + (n
  1)] = 200 . k+(n-
  1) ,由题意可知 kn + 2 因为 k,n 都是正整数,且 n≥3,所以 n<2k+(n-
  1) ,且 n 与 2k+(n-
  1)的奇偶 性不同. 将 200 分解质因数,可知 n=5 或 n=
  8. 当 n=5 时,k=18;当 n=8 时,k=
  9. 共有 两种不同方案.

  6.
3 . 2
3 3 1 1 1 4 1 3 + 2 = 2 + 2 = 2 = = . 2 x + 2 x 4 x 2 x 4 x 4 x 4 (1 + 3 ) 4 2

  7.
  1.
7 1 1 1 z 7x 3 因为 4 = x + = x + = x+ = x+ 3 x = x+ , 1 7 1 y z 1 4x 3 1 1 z 3 x
所以 解得 从而 于是

  8.1
  61.
4(4 x
  3) = x(4 x
  3) + 7 x 3 , 3 . 2 7 1 7 2 5 1 3 2 z = = = , y = 1 = 1 = . 3 x 3 3 3 z 5 5 3 2 5 xyz = × × = 1 . 2 5 3 x=
根据图中①,②,③的规律,可知图④中三角形的个数为
1+4+3×4+ 3 2 × 4 + 33 × 4 =1+4+12+36+108=161(个).
  9. 6 2 .
A
如图,延长 AD 交地面于 E,过 D 作 DF⊥CE 于 F. 因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m, 所以 CF=DF= 2 2 m, EF=DFtan60 ° = 2 6 (m). 因为
B C F
D
E
(第 9 题图)
AB 3 3 ,所以 AB = BE × = tan 30 = = 6 2 (m). BE 3 3

  10.-
  4.
a b + c = 4, 由于二次函数的图象过点 A(-1,
  4) ,点 B(2,
  1) ,所以 4a + 2b + c = 1, 解得 b = a 1, c = 3 2a.
因为二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点,所以 = b 2 4ac > 0 ,
(a
  1) 2 4a (3 2a ) > 0 ,即 (9a
  1)(a
  1) > 0 ,由于 a 是正整数,故 a > 1 ,
所以 a ≥
  2. 又因为 b+c=-3a+2≤-4,且当 a=2,b=-3,c=-1 时,满足 题意,故 b+c 的最大值为-
  4. 三,解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 解答题(

  11.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,BC
是⊙O 的切线,OC 平行于弦 AD,过点 D 作
DE⊥AB 于点 E,连结 AC,与 DE 交于点 P.
A
问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论. 解:DP=PE. 证明如下: 因为 AB 是⊙O 的直径,BC 是切线, 所以 AB⊥BC. 由 Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EP AE = . ① ……(6 分) BC AB
O
E
D P
B
C (第 11 题图)
又 AD‖OC,所以∠DAE=∠COB,于是 Rt△AED∽Rt△OBC. ED AE AE 2 AE 故 = = = ② ……(12 分) BC OB 1 AB AB 2 由①,②得 ED=2EP. 所以
DP=PE.
……(15 分)
6

  12. 某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城,
沿途可能经过的城市以及通过两城市之 间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为 80 千米/小时, 而汽车每行驶 1 千米需要的平均费用为
  1.2 元. 试指出此人从 A 城出发到 B 城 的最短路线(要有推理过程) ,并求出所 需费用最少为多少元? 解:从 A 城出发到达 B 城的路线分 成如下两类: (
  1)从 A 城出发到达 B 城,经过 O 城. 因为从 A 城到 O 城所需最短时间为
15 14
C
13
D
17
E
10 12 11
A O
5
F
7 18
B
G
9
H
26 小时,从 O 城到 B 城所需最短时间为 22 小时. 所以,此类路线所需 最短时间为 26+22=48(小时). ……(5 分) ……(10 分) (
  2)从 A 城出发到达 B 城,不经过 O 城. 这时从 A 城到达 B 城,必定经过 C,D,E 城或 F,G,H 城,所需时间至少为 49 小时. A→F→O→E→B. ……(12 分) 综上,从 A 城到达 B 城所需的最短时间为 48 小时,所走的路线为: 所需的费用最少为: 80×48×
  1.2=4608(元)…(14 分) 答:此人从 A 城到 B 城最短路线是 A→F→O→E→B,所需的费用最少为 4608 元 ……(15 分)
13B.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°. CD 2 BD 2 AD BD . (
  1)当点 D 在斜边 AB 内部时,求证: = BC 2 AB (
  2)当点 D 与点 A 重合时,第(
  1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (
  3)当点 D 在 BA 的延长线上时,第(
  1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (
  1)作 DE⊥BC,垂足为 E. 由勾股定理得 解:
CD 2 BD 2 = (CE 2 + DE 2 ) ( BE 2 + DE 2 ) = CE 2 BE 2 = (CE BE ) BC.
所以 CD 2 BD 2 CE BE CE BE = = . BC BC BC BC 2
CE AD BE BD = , = . BC AB BC AB
B E
C
D
A
因为 DE‖AC,所以 故
CD 2 BD 2 AD BD AD BD = = . AB AB AB BC 2
……(10 分)
(
  2)当点 D 与点 A 重合时,第(
  1)小题中的等式仍然成立.此时有
AD=0,CD=AC,BD=AB. CD 2 BD 2 AC 2 AB 2 BC 2 = = = 1 , BC 2 BC 2 BC 2 AD BD AB = = 1 . AB AB
所以
从而第(
  1)小题中的等式成立. 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于点 E,则
……(13 分)
(
  3)当点 D 在 BA 的延长线上时,第(
  1)小题中的等式不成立.
CD 2 BD 2 CE 2 BE 2 = BC 2 BC 2 2CE CE + BE , = = 1 BC BC 而
AD BD AB = = 1 , AB AB CD BD AD BD ≠ . 2 AB BC
2 2
E C
B A
D
所以
……(15 分)
〖说明〗第(
  3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分). 14B.已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=2,abc=
  4. (
  1)求 a,b,c 中的最大者的最小值; (
  2)求 a + b + c 的最小值. (
  1)不妨设 a 是 a,b,c 中的最大者,即 a≥b,a≥c,由题设知 a>0, 解: 4 且 b+c=2-a, bc = . a 4 于是 b,c 是一元二次方程 x 2 (2 a ) x + = 0 的两实根, a 4 = ( 2 a ) 2 4 × ≥0 , a
a 3 4a 2 + 4a 16 ≥0, (a 2 +
  4)(a
  4) ≥
  0. 所以 a≥
  4.
……(8 分)
又当 a=4,b=c=-1 时,满足题意. 故 a,b,c 中最大者的最小值为
  4. (
  2)因为 abc>0,所以 a,b,c 为全大于 0 或一正二负.
  1)若 a,b,c 均大于 0,则由(
  1)知,a,b,c 中的最大者不小于 4,这与 a+b+c=2 矛盾.
  2)若 a,b,c 为或一正二负,设 a>0,b<0,c<0,则 ……(10 分)
a + b + c = a b c = a ( 2 a ) = 2a 2 ,
由(
  1)知 a≥4,故 2a-2≥6,当 a=4,b=c=-1 时,满足题设条件且使得不等式等 号成立.故 a + b + c 的最小值为
  6. ……(15 分)
13A.如图所示,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x 2 + 2(k
  2) x + k = 0 (k 是整数) 的最大整数根. P 是⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点, 点 B,C 是直线 PBC 与⊙O 的交点. 若 PA,PB,PC 的长都是正整数,且 PB 的长不是 合数,求 PA2 + PB 2 + PC 2 的值. 解:设方程 x 2 + 2(k
  2) x + k = 0 的两个根
为 x1 , x 2 , x1 ≤ x 2 .由根与系数的关系得
A
x1 + x 2 = 4 2k ,

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